Bài 5:
`\frac{1+2y}{18}=\frac{1+4y}{24}=\frac{1+6y}{6x}`
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
`\frac{1+6y}{6x}=\frac{1+2y}{18}=\frac{1+6y+1+2y}{6x+18}=\frac{8y+2}{6x+18}=\frac{2(4y+1)}{2(3x+9)} = \frac{4y+1}{3x+9}.`
Thay `\frac{1+6y}{6x}=\frac{1+2y}{18}= \frac{4y+1}{3x+9}` vào `\frac{1+2y}{18}=\frac{1+4y}{24}=\frac{1+6y}{6x}` ta có:
`\frac{4y+1}{3x+9}=\frac{1+4y}{24}⇒3x+9=24⇔3x=24-9=15⇔x=5.`
Có `x=5` thay vào `\frac{1+2y}{18}=\frac{1+4y}{24}=\frac{1+6y}{6x}` ta có:
`\frac{1+2y}{18}=\frac{1+4y}{24}=\frac{1+6y}{30}`
`⇒30(1+4y)=24(1+6y)`
`⇔30+120y=24+144y`
`⇔30-24=144y-120y`
`⇔6=24y`
`⇔6/24=y`
`⇔1/4=y.`
Vậy ta có cặp `(x, y)` thỏa mãn: `(5 ; 1/4).`
Bài 6: Tương tự bài 5.
Bài 7:
Vì `a+b+c+d \ne 0 `
nên ta áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau cho dãy sau:
`\frac{a}{b+c+d}=\frac{b}{a+c+d}=\frac{c}{a+b+d}=\frac{d}{a+b+c}=\frac{a+b+c+d}{b+c+d+a+c+d+a+b+d+a+b+c}=\frac{a+b+c+d}{3a+3b+3c+3d}=\frac{a+b+c+d}{3(a+b+c+d)}=1/3.`
Có: `\frac{a}{b+c+d} = 1/3 ⇔ 3a=b+c+d` ( nhân chéo ).
Tương tự cũng có: `3b=a+c+d; 3c=a+b+d, 3d= 3a+3b+3c`
Có : ` 3a=b+c+d` và `3b=a+c+d`
` 3a - 3b = b + c + d - a - c - d`
`⇔3(a-b) = b-a`
`⇔3(a-b) = -(a-b)`
`⇔3(a-b) + (a-b) = -(a-b)+ (a-b)`
`⇔4(a-b) = 0`
`⇔a-b = 0`
`⇔a=b.`
Chứng minh tương tự cũng có: `b=c, c=d , d=a ⇒ a=b=c=d.`
Thay vào A ta có:
`A=\frac{a+b}{c+d} + \frac{b+c}{a+d} + \frac{c+d}{a+b}+\frac{d+a}{b+c}`
`A= \frac{a+a}{a+a} + \frac{a+a}{a+a} + \frac{a+a}{a+a}+\frac{a+a}{a+a} = \frac{b+b}{b+b} + \frac{b+b}{b+b} + \frac{b+b}{b+b}+\frac{b+b}{b+b} = \frac{c+c}{c+c} + \frac{c+c}{c+c} + \frac{c+c}{c+c}+\frac{c+c}{c+c} = frac{d+d}{d+d} + \frac{d+d}{d+d} + \frac{d+d}{d+d}+\frac{d+d}{d+d} = 1+1+1+1 = 4.`
Vậy `A=4.`
