Đáp án:
$AH=2cm$
Giải thích các bước giải:
Vẽ $IK\perp AB$ tại $K$; $IM\perp BC$ tại $M$;
Vì $I$ là giao điểm 3 đường phân giác của $∆ABC$
`=>I` cách đều $3$ cạnh $∆ABC$ (tính chất)
`=>IH=IK=IM`
$\\$
$\quad ∆ABC$ vuông tại $A$ (vì `\hat{BAC}=90°`)
`=>BC^2=AB^2+AC^2` (định lý Pytago)
`=>BC^2=6^2+8^2=100`
`=>BC=10cm`
Ta có:
`\qquad S_{∆ABC}=1/ 2 AB.AC=1/ 2 .\ 6\ .\ 8=24cm^2`
`\qquad S_{∆ABC}=S_{∆IAB}+S_{∆IAC}+S_{∆IBC}`
`=>24=1/ 2 .IK.AB+1/ 2 .IH.AC+1/ 2 .IM.BC`
`=>24=1/ 2 (IH.AB+IH.AC+IH.BC)`
`\qquad ` (do $IH=IK=IM$)
`=>24=1/ 2 .IH.(AB+AC+BC)`
`=>IH.(AB+AC+BC)=48`
`=>IH.(6+8+10)=48`
`=>IH.24=48`
`=>IH=2cm`
$\\$
Vì $I$ là giao điểm của $3$ đường phân giác trong $∆ABC$ (gt)
`=>AI` là phân giác của `\hat{BAC}`
`=>\hat{IAH}=1/ 2 \hat{BAC}=1/ 2 .90°=45°`
$\quad ∆IAH$ vuông tại $H$ có `\hat{IAH}=45°`
`=>∆IAH` vuông cân tại $H$
`=>AH=IH=2cm`
Vậy $AH=2cm$
