Giải thích các bước giải:
a) Vì C thuộc đường tròn (O) có AB là đường kính
=> $\angle ACB = 90^\circ $
=> $AC \bot CB$ (1)
Vì AM, MC là tiếp tuyến tại A và C của (O)
=> $MO \bot AC$ (2) và MA=MC (5)
Vì CN, BN là tiếp tuyến tại C và B của (O)
=> $NO \bot CB$ (3) và ON là phân giác góc COB và CN=NB (6)
Từ (1), (2), (3)=> $MO \bot ON$ (4)
Từ (4), (2)=> AC//ON
Gọi CD cắt AO tại K là trung điểm của AO(gt)
=> K thuộc trung trực của AO
=> CK là trung trực của AO(do $CK \bot AO$)
=> C thuộc trung trực AO
=> CA=CO
Xét tam giác ABC có: góc ACB=90 độ, O là trung điểm AB
=> CO=OA=BO=1/2AB
=> AC=CO=AO=> tam giác BAC đều
=> góc COA=60 độ=> góc COB=180-60=120 độ
Vì ON là phân giác góc COB=> góc CON=1/2COB=60 độ
Vì AB là dây cung vuông góc đường kinh AB
=> AB là trung trực của CO
=> góc COA=1/2COD
=> góc COD=120 độ
=> góc COD+CON=180 độ=DON
=> D, O, N thẳng hàng
=> AC//DN(đpcm)
b) Vì MN là tiếp tuyến của (O)
=> $CO \bot MN$
=> $\eqalign{ & \angle OCN = 90^\circ \cr & = > \,\angle CON + \angle CNO = 90^\circ \cr} $
Vì $\angle MON = 90^\circ $
=> $\angle MOC + \angle CON = 90^\circ $
=> $\angle MOC = \angle CNO$
Xét $\vartriangle MCO$ và $\vartriangle OCN$ có:
$\eqalign{ & \angle MCO = \angle OCN = 90^\circ \cr & \angle MOC = \angle CNO = 90^\circ \cr} $
=> $\vartriangle MCO \sim \vartriangle OCN$
=> $\frac{{MC}}{{CO}} = \frac{{CO}}{{CN}}$ (7)
Từ (5), (6), (7)=> $\frac{{MA}}{{CO}} = \frac{{CO}}{{NB}}$
=> MA.NB=$C{O^2}$
Vì CO=1/2AB
=> $C{O^2} = \frac{1}{4}A{B^2}$
=> 4MA.NB=$A{B^2}$ (đpcm)
c) AB=6cm=> AO=1/2AB=3cm=CO=CO=DO=AC
Xét tam giác CON có: góc OCN=90 độ, góc CON=60 độ
=> CO=1/2ON
=> ON=12cm
=> DN=DO+ON=18cm
Gọi MO cắt AC tại L
=> L là chân đường cao kẻ từ C của tam giác CAO
=> LO=$\frac{{\sqrt 3 }}{2}AC$=${3\sqrt 3 }$
$S{_{ACND}} = \frac{{(AC + DN).LO}}{2} = \frac{{24.3\sqrt 3 }}{2} = 36\sqrt 3 $
