Ta có
$x^5 - 108x^4 -108x^3-108x^2-108x-1 = (x^5 - 109x^4) + (x^4 - 109x^3) + (x^3 - 109x^2) + (x^2 - 109x) + x -1$
$= x^4(x - 109) + x^3(x-109) + x^2(x-109) + x(x-109) + x-1$
$= (x-109)(x^4 + x^3 + x^2 + x) + x-1$
Với giá trị $x = 109$, khi thay vào ta thấy tích $ (x-109)(x^4 + x^3 + x^2 + x)$ đồng nhất bằng 0, do đó giá trị của $M$ tại $x = 109$ chỉ là
$M = 109 -1 = 108$.
