`e)`
Vì `ΔABC` cân tại `A`
`⇒hat{ABC}=hat{ACB}(` tính chất `Δ` cân `)`
Xét `ΔBCM` và `CBN` có:
`BC:chung`
`hat{MBC}=hat{NCB}(cmt)`
`BM=CN(g``t)`
`⇒ΔBCM=ΔCBN(c.g.c)`
`⇒CM=BN(2` cạnh tương ứng `)(đpcm)`
`f)`
Vì `ΔABC` cân tại `A`
`⇒AB=AC(` tính chất `Δ` cân `)`
Theo câu `e)ΔBCM=ΔCBN(c.g.c)`
`⇒hat{BCM}=hat{CBN}(2` góc tương ứng `)`
`⇒ΔIBC` cân tại `I`
`⇒IB=IC(` tính chất `Δ` cân `)`
Xét `ΔABI` và `ΔACI` có:
`AB=AC(cmt)`
`IB=IC(cmt)`
`AI:chung`
`⇒ΔABI=ΔACI(c.c.c)`
`⇒hat{A_1}=hat{A_2}(2` góc tương ứng `)`
`⇒AI` là đường phân giác của `ΔABC`
Vì `ΔABC` cân tại `A` có `AI` là đường phân giác của `ΔABC`
`⇒AI` đồng thời là đường trung trực của `ΔABC`
`⇒AI` là đường trung trực `BC(đpcm)`
`g)`
Vì `ΔABC` cân tại `A`
`⇒hat{ABC}=(180^o-hat{A})/2(1)`
Ta có:`AB=AM+BM`
`AC=AN+CN`
Mà `AB=AC(cmt)`
`BM=CN(g``t)`
`⇒AM=AN`
`⇒ΔAMN` cân tại `A`
`⇒hat{AMN}=(180^o-hat{A})/2(2)`
Từ `(1)` và `(2)⇒hat{ABC}=hat{AMN}`
Mà `2` góc này nằm ở vị trí đồng vị
`⇒BC////MN(đpcm)`
`h)`
Qua `N` kẻ `ND////AP`
Mà `B∈AP`
`⇒ND////AB`
`⇒hat{D_1}=hat{ABC}(2` góc đồng vị `)`
Mà `hat{ABC}=hat{ACB}(cmt)`
`⇒hat{D_1}=hat{ACB}`
`⇒ΔNCD` cân tại `N`
`⇒DN=CN(` tính chất `Δ` cân `)`
Mà `BM=CN(g``t)`
`⇒DN=BM`
Mà `BP=BM(g``t)`
`⇒DN=BP`
Vì `ND////AP(g``t)`
Mà `B∈AP`
`⇒ND////BP`
`⇒hat{B_1}=hat{D_2}(2` góc so le trong `)`
`hat{P}=hat{N_1}(2` góc so le trong `)`
Xét `ΔBPK` và `ΔDNK` có:
`hat{B_1}=hat{D_2}(cmt)`
`BP=DN(cmt)`
`hat{P}=hat{N_1}(cmt)`
`⇒ΔBPK=ΔDNK(g.c.g)`
`⇒PK=NK(2` cạnh tương ứng `)`
`⇒K` là trung điểm của `NP(đpcm)`
