Đáp án:
$ a) m = \frac{3}{2}; x_{1} = 2; x_{2} = - 1$
$ b) m = 4 + \sqrt[]{2} $
Giải thích các bước giải:
$x² - 2(m - 1)x + 2m - 5 = 0 (*) $
a) Để $(*)$ có nghiệm $x_{1} = 2$ thì thay vào $(*)$ phải thỏa mãn:
$2² - 2(m - 1)2 + 2m - 5 = 0 ⇔ - 2m = - 3 ⇔ m = \frac{3}{2}$
Với $m = \frac{3}{2}$ theo định lý Viet :
$x_{1} + x_{2} = 2(m - 1) = 2m - 2 = 3 - 2 = 1 ⇒ x_{2} = 1 - x_{1} = 1 - 2 = - 1$
b) Để $(*)$ có 2 nghiệm pb $x_{1}; x_{2}$ thì :
$Δ' = [-(m - 1)]² - 1.(2m - 5) = m² - 4m + 6 = (m - 2)² + 2 > 0 ⇒ (*)$ luôn có 2 nghiệm pb thỏa định lý Vi et:
\(\left[ \begin{array}{l}x_{1} + x_{2} = 2(m - 1)\\x_{1}x_{2} = 2m - 5\end{array} \right.\)
Theo giả thiết : $\sqrt[]{x_{1}} - \sqrt[]{x_{2}} = 2$
⇔\(\left[\begin{array}{l}0 ≤ x_{2} <x_{1}\\x_{1} + x_{2} - 2\sqrt[]{x_{1}x_{2}} = 4\end{array} \right.\)
⇔\(\left[\begin{array}{l} x_{1} + x_{2} > 0; x_{1}x_{2} ≥ 0\\2(m - 1) - 2\sqrt[]{2m - 5} = 4\end{array} \right.\)
⇔\(\left[ \begin{array}{l} 2(m - 1) > 0; 2m - 5 ≥ 0\\ m - 3 = \sqrt[]{2m - 5}\end{array} \right.\)
⇔\(\left[ \begin{array}{l} m ≥ \frac{5}{2}\\m² - 6m + 9 = 2m - 5\end{array} \right.\)
⇔\(\left[ \begin{array}{l} m ≥ 3 \\m² - 8m + 14 = 0\end{array} \right.\)
$ ⇔ m = 4 + \sqrt[]{2} (TM)$ (Loại nghiệm $ m = 4 - \sqrt[]{2} < 3)$
