Đáp án:
a) Ta có: P+1= $\frac{27-12x+x^{2}+9}{x^{2}+9}$
↔ P+1= $\frac{x^{2}-12x+36}{x^{2}+9}$
↔ P+1= $\frac{(x-6)^{2}}{x^{2}+9}$
Mà $\frac{(x-6)^{2}}{x^{2}+9}$ $\geq$ 0
→ Để P+1 đạt Min ↔ P+1=0 → P=-1
→ x-6= 0 → x=6
Vậy P đạt Min= -1 ↔ x=6
Ta có: 4-P= $\frac{4x^{2}+36-27+12x}{x^{2}+9}$
↔ 4-P= $\frac{4x^{2}+12x+9}{x^{2}+9}$
↔ 4-P= $\frac{(2x+3)^{2}}{x^{2}+9}$
→ P= 4-$\frac{(2x+3)^{2}}{x^{2}+9}$ $\leq$ 4
→ P đạt Max ↔ P=4
↔ 2x+3 = 0 → x= $\frac{3}{2}$
Vậy P đạt Max=4 ↔ x= $\frac{3}{2}$
b)
Đặt a= $\frac{1}{x+100}$ → x= $\frac{1}{a}$ -100
Ta có: Q= $\frac{x}{(x+100)^{2}}$
= $a^{2}$ .x
= $a^{2}$.($\frac{1}{a}$ .100)
= a-100.$a^{2}$
= -100($a^{2}$ - $\frac{a}{100}$ + $\frac{1}{40000}$ + $\frac{1}{40000}$ )
= -100(a-$\frac{1}{200}$)^{2}+$\frac{1}{400}$ $\leq$ $\frac{1}{400}$
→ Q đạt Max=$\frac{1}{400}$ tại a=$\frac{1}{200}$
c)
Ta có: M= $\frac{2^{2}-16x+41}{x^{2}-8x+22}$
= $\frac{2(x^{2}-8x+22)-3}{(x-4)^{2}+6}$
= 2-$\frac{3}{(x-4)^{2}+6}$
Lại có: $(x-4)^{2}$ +6 $\geq$ 6
→ $\frac{3}{(x-4)^{2}+6}$ $\leq$ $\frac{1}{2}$
→ $\frac{-3}{(x-4)^{2}+6}$ $\geq$ $\frac{-1}{2}$
→ M= 2-$\frac{3}{(x-4)^{2}+6}$ $\geq$ 2-$\frac{1}{2}$
→ M $\geq$ $\frac{3}{2}$
→ Min M= $\frac{3}{2}$ tại x-4=0 → x= 4
d)
Ta có: N=$2x^{2}$+2xy-6x-4y+15
= ($2x^{2}$-4y+2xy+1+4x)+14-10x
= $(x-y+2)^{2}$
Vì: $\left \{ {{(x-y+2)^{2}\geq0} \atop {10x\geq0}} \right.$
→ N $\geq$ 14
Hay N đạt Min=14
Dấu '=' xảy ra ↔ $\left \{ {{x-y+2=0} \atop {10x=0}} \right.$ → $\left \{ {{y=-2} \atop {x=0}} \right.$
e)
Ta có: E= $\frac{8x+3}{4x^{2}+1}$
↔ $4x^{2}$+1.E=8x+3
↔ $4E^{2}$+E+8x+3=0
↔ $4E^{2}$-8x+E+3=0
↔ $-4^{2}$-4B(B+3)= 16-$4E^{2}$-12
↔ $-4E^{2}$+4
→ -4$B^{2}$+4$\geq$ 0
↔ -4($B^{2}$-1)$\geq$ 0
↔ $B^{2}$-1$\leq$0
→ -1$\leq$ B $\geq$ 1
→ Min B= -1
Max B= 1
^^ Học Tốt ^^ #AwishfromHoàng
