a) Ta có:
$SA\perp (ABCD)\quad (gt)$
$\to SA\perp BC$
mà $BC\perp AB$ (đáy hình vuông)
nên $BC\perp (SAB)$
b) Ta có:
$SA\perp (ABCD)\quad (gt)$
$\to SA\perp CD$
mà $CD\perp AD$ (đáy hình vuông)
nên $CD\perp (SAD)$
c) Ta có:
$SA\perp (ABCD)\quad (gt)$
$\to SA\perp BD$
mà $BD\perp AC$ (hai đường chéo hình vuông)
nên $BD\perp (SAC)$
d) Ta có:
$BC\perp (SAB)\quad$ (câu a)
$\to BC\perp AH$
mà $AH\perp SB\quad (gt)$
nên $AH\perp (SBC)$
$\to AH\perp SC$
Hoàn toàn tương tự, ta chứng minh được:
$AK\perp SC$
$\to SC\perp (AHK)$
Lại có: $AI\perp SC$
$\to AI\subset (AHK)$
Hay $AH,AI,AK$ đồng phẳng
e) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta được:
$SH.SB = SA^2$
$SK.SD = SA^2$
$SB = SD\quad (∆SAB=∆SAD)$
$\to \dfrac{SH}{SB}=\dfrac{SK}{SD}$
$\to HK//BD$ (theo định lý $Thales$ đảo)
mà $BD\perp (SAC)$ (câu c)
nên $HK\perp (SAC)$
Ta được:
$\dfrac{SH}{SB}=\dfrac{SK}{SD}=\dfrac{HK}{BD}$
$\to HK =\dfrac{SH.BD}{SB}$
