1)
Vì DH là đường cao của ∆DEF (gt)
=> ^DHE = 90°
=> ∆HDE vuông tại H
=> DE² = DH² + EH² (định lý Pytago)
=> DE = √(DH² + EH)² = √(12² + 9²) = 15 (cm)
Xét ∆DEF vuông tại D , DH đường cao ta có :
+) DE² = EH*EF (hệ thức lượng)
=> EF = DE²/EH = 15²/9 = 25 (cm)
+) EF² = DE² + DF² (định lý Pytago)
=> DF² = EF² - DE²
=> DF = √(EF² - DE²) = √(25² - 15²) = 20 (cm)
+) DF² = FH*FE (hệ thức lượng)
=> FH = DF²/FE = 20²/25 = 16 (cm)
Vậy FH = 16 (cm)
DE = 15 (cm)
DF = 20 (cm)
2)
Xét ∆ABC vuông tại A , AH đường cao ta có :
+) BC² = AB² + AC² (định lý Pytago)
=> BC = √(AB² + AC²) = √(15² + 20²) = 25 (cm)
+) AB² = BH*BC (hệ thức lượng)
=> BH = AB²/BC = 15²/25 = 9 (cm)
+) AH*BC = AB*AC (hệ thức lượng)
=> AH = (AB*AC)/BC = (15*20)/25 = 12 (cm)
+) AC² = CH*CB (hệ thức lượng)
=> CH = AC²/CB = 20²/25 = 16 (cm)
Vậy AH = 12 (cm)
BH = 9 (cm)
b)
Vì AH là đường cao của ∆ABC (gt)
=> ^BHA = ^AHC = 90°
=> ∆HBA vuông tại H và ∆HAC vuông tại H
Vì E và F lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC (gt)
=> HE và HF lần lượt là đường cao của ∆HBA và ∆HAC
Xét ∆HBA vuông tại H , HE đường cao ta có :
AH² = AE*AB (hệ thức lượng) (1)
Xét ∆HAC vuông tại H , HF đường cao ta có :
AH² = AF*AC (hệ thức lượng) (2)
Từ (1) và (2)
=> AE*AB = AF*AC
c)
Vì HE và HF lần lượt là đường cao của ∆HBA và ∆HAC (cmt)
=> ^HEB = ^HFC = 90°
=> ∆EHB vuông tại E và ∆FHC vuông tại F
=> Sehb = (EH*EB)/2 và Sfhc = (FH*FC)/2
Vì ∆ABC vuông tại A (gt)
=> ^A = 90°
Vì HE và HF lần lượt là đường cao của ∆HBA và ∆HAC (gt)
=> ^HEA = ^HFA = 90°
Xét tgAEHF ta có :
^A = ^HEA = ^HFA = 90°
=> tgAEHF là hình chữ nhật
=> ^EHF = 90°
=> ∆EHF vuông tại H
=> Sehf = (HE*HF)/2
Xét ∆HBA vuông tại H , HE đường cao ta có :
+) BH² = BE*BA (hệ thức lượng)
=> BE = BH²/BA = 9²/15 = 5.4 (cm)
+) EH*AB = BH*AH (hệ thức lượng)
=> EH = (BH*AH)/AB = (9*12)/15 = 7.2 (cm)
Xét ∆HAC vuông tại H , HF đường cao ta có :
+) CH² = CF*CA (hệ thức lượng)
=> CF = CH²/CA = 16²/20 = 12.8 (cm)
+) HF*AC = AH*CH (hệ thức lượng)
=> HF = (AH*CH)/AC = (12*16)/20 = 9.6 (cm)
Ta có :
Sbefc = Sbeh + Sehf + Shfc
= EB*EH/2 + HE*HF/2 + FH*FC/2
= (EB*EH + HE*HF + FH*FC)/2
= (5.4*7.2 + 7.2*9.6 + 9.6*12.8)/2
= 115.44 (cm²)
