Gọi $X$ là tuổi thọ của mỗi sản phẩm (đơn vị: tháng)

$X$ có phân phối chuẩn với $\mu = 84$ tháng, $\sigma = 18$ tháng

$\Rightarrow X\sim N(84;324)$

a) Một sản phẩm phải bảo hành là sản phẩm có tuổi thọ không quá `72` tháng

Xác suất để một sản phẩm phải bảo hành:

$P(X \leqslant 72) = \dfrac12 + \Phi\left(\dfrac{72 - 84}{18}\right)$

$\Leftrightarrow P(X\leqslant 72) = 0,5 + \Phi(-0,5)$

$\Leftrightarrow P(X \leqslant 72) = 0,5 - 0,1915$

$\Leftrightarrow P(X \leqslant 72) = 0,3085$

b) Tỉ lệ sản phẩm có tuổi thọ trên `96` tháng:

$\Leftrightarrow P(X > 96) = \dfrac12 - \Phi\left(\dfrac{96 - 84}{18}\right)$

$\Leftrightarrow P(X > 96) = \dfrac12 - \Phi(0,667)$

$\Leftrightarrow P(X > 96) = 0,5 - 0,2486$

$\Leftrightarrow P(X > 96) =0,2514$

c) Gọi $Y$ là lợi nhuận cửa hàng thu được khi bán một sản phẩm (đơn vị: ngàn đồng)

$\Rightarrow Y\in \{-800;200\}$

$+)\quad P(Y = -800) = P(X \leqslant 72) = 0,3085$

$+)\quad P(Y = 200) = 1 - P(Y= -800) = 0,6915$

Bảng phân phối xác suất của $Y:$

\(\begin{array}{|c|c|c|}\hline
Y&-800&200\\\hline
P&0,3085&0,6915\\\hline
\end{array}\)

Lợi nhuận trung bình của cửa hàng khi bán một sản phẩm:

$E(Y) = -800\cdot 0,3085 + 200\cdot 0,6915 = -108,5$ (ngàn đồng)

Lợi nhuận trung bình tăng thêm $50\%: E(Y) = -54,25$ (ngàn đồng)

Gọi $P(X \leqslant x)$ là xác suất để một sản phẩm phải bảo hành với thời gian bảo hành mới, với $x$ là thời gian bảo hành mới

Ta có: $E(Y) = -800\cdot P(X \leqslant x) + 200\cdot [1-P(X\leqslant x)]$

$\Leftrightarrow -54,25 = -1000P(X \leqslant x) + 200$

$\Leftrightarrow P(X \leqslant x) = 0,25425$

$\Leftrightarrow \dfrac12 + \Phi\left(\dfrac{x - 84}{18}\right) = 0,25425$

$\Leftrightarrow \Phi\left(\dfrac{x - 84}{18}\right) = 0,24575$

$\Leftrightarrow \dfrac{x-84}{18} = 0,66$

$\Leftrightarrow x = 95,88$ (tháng)