Giải thích các bước giải:
1.Ta có $AB$ là đường kính của $(O)\to AD\perp BD, AC\perp BC$
$\to \widehat{ECH}=\widehat{EDH}=90^o$
$\to CEDH$ nội tiếp đường tròn đường kính $EH$
2.Xét $\Delta CHA,\Delta CBE$ có:
$\widehat{HCA}=\widehat{ECB}(=90^o)$
$\widehat{CHA}=\widehat{CED}=\widehat{CEB}$
$\to\Delta CAH\sim\Delta CBE(g.g)$
$\to\dfrac{CA}{CB}=\dfrac{CH}{CE}$
$\to CE.CA=CH.CB$
3.Ta có $AD\perp BE, BC\perp AE, AD\cap BC=H\to H$ là trực tâm $\Delta EAB$
$\to EH\perp AB$
$\to \widehat{EDA}=\widehat{EFA}=90^o$
$\to EDFA$ nội tiếp
Lại có $\widehat{HFA}=\widehat{HCA}(=90^o)$
$\to ACHF$ nội tiếp
$\to \widehat{EFD}=\widehat{EAD}=\widehat{CAH}=\widehat{CFH}$
$\to FH$ là phân giác $\widehat{CFD}$
Ta có $\widehat{ECB}=\widehat{EFB}(=90^o)$
$\to ECFB$ nội tiếp
$\to \widehat{CDH}=\widehat{CEH}=\widehat{CEF}=\widehat{CBF}=\widehat{CBA}=\widehat{CDA}$
$\to DH$ là phân giác $\widehat{CDF}$
$\to H$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta CDF$
4.Ta có $CEDH$ nội tiếp đường tròn đường kính $EH$
Do $I$ là trung điểm $EH\to I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $ECHD$
Ta có $(I)\cap (O)=C, D\to OI\perp CD$
Gọi $OI\cap CD=G\to G$ là trung điểm $CD\to GC=GD=\dfrac12CD=\dfrac{R\sqrt3}2$
Ta có:
$\widehat{ICD}=90^o-\dfrac12\widehat{CID}=90^o-\widehat{CED}=90^o-\widehat{CEB}=\widehat{EBC}=\widehat{DBC}$
$\to \widehat{ICO}=\widehat{ICD}+\widehat{DCO}=\widehat{DBC}+\widehat{DCO}=\dfrac12\widehat{COD}+\widehat{CDO}=90^o$
$\to IC$ là tiếp tuyến của $(O)$
Tương tự $ID$ là tiếp tuyến của $(O)$
$\to IC\perp OC, ID\perp OD$
Mà $OI\perp CD=G$
$\to OG.OI=OC^2$(Hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Ta có $OG=\sqrt{OC^2-CG^2}=\dfrac12R$
$\to OI=\dfrac{OC^2}{OG}=2R$
$\to I$ thuộc $(O, 2R)$ cố định
