Đáp án:
`b)` `m=-1`
`c)` `m\in {-3;-1}`
Giải thích các bước giải:
`\qquad x^2-(m+5)x+3m+6=0`
Ta có: `a=1;b=-(m+5);c=3m+6`
`a)` `∆=b^2-4ac=[-(m+5)]^2-4.1.(3m+6)`
`=m^2+10m+25-12m-24`
`=m^2-2m+1=(m-1)^2\ge 0` với mọi `m`
Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của `m`
$\\$
`b)` Để phương trình có hai nghiệm `x_1;x_2`
`=>∆\ge 0=>(m-1)^2\ge 0` (luôn đúng)
`=>` Phương trình luôn có hai nghiệm `x_1;x_2`
$\\$
Theo hệ thức Viet ta có:
$\quad \begin{cases}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=m+5\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=3m+6\end{cases}$
Để `1/{x_1}+1/{x_2}=4/3` `(x_1;x_2\ne 0)`
`<=>{x_2+x_1}/{x_1x_2}=4/3`
`<=>{m+5}/{3m+6}=4/3` `(m\ne -2)`
`<=>3.(m+5)=4(3m+6)`
`<=>3m+15=12m+24`
`<=>-9m=9`
`<=>m=-1`
Vậy `m=-1` thì `1/{x_1}+1/{x_2}=4/3`
$\\$
`c)` Để `1/{x_1^2}+1/{x_2^2}={10}/9``\quad (x_1;x_2\ne 0)`
`<=>{x_2^2+x_1^2}/{x_1^2 x_2^2}={10}/9`
`<=>{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}/{(x_1x_2)^2}={10}/9`
`<=>{(m+5)^2-2(3m+6)}/{(3m+6)^2}={10}/9``(m\ne -2)`
`<=>9.[(m+5)^2-2(3m+6)]=10(3m+6)^2`
`<=>9.(m^2+10m+25-6m-12)=10.(9m^2+36m+36)`
`<=>9(m^2+4m+13)=90m^2+360m+360`
`<=>9m^2+36m+117=90m^2+360m+360`
`<=>81m^2+324m+243=0`
`<=>m^2+4m+3=0`
`<=>m^2+3m+m+3=0`
`<=>m(m+3)+m+3=0`
`<=>(m+3)(m+1)=0`
`<=>`$\left[\begin{array}{l}m=-3\\m=-1\end{array}\right.$ (thỏa mãn)
Vậy `m\in {-3;-1}` thì `1/{x_1^2}+1/{x_2^2}={10}/9`
