a)
Có: $\begin{cases}BH.BC=BE^2\\CH.BC=EC^2\end{cases}\Rightarrow\dfrac{BH}{CH}=\dfrac{BE^2}{EC^2}$
b)
Có: $CK.CA=CH.CB\,\,\,\left( =C{{E}^{2}} \right)$
$\Rightarrow \Delta CHK\backsim\Delta CAB\left( c.g.c \right)$
c)
Có: $E{{H}^{2}}+E{{K}^{2}}=H{{K}^{2}}$
$\Leftrightarrow E{{H}^{2}}+E{{K}^{2}}=E{{C}^{2}}$
$\Leftrightarrow CH.BH+CK.KA=AE.EB$
d)
Gọi $I$ là giao điểm $CM$ và $HK$
$\Rightarrow \Delta CIK\backsim\Delta ACB$ và $\Delta CIH\backsim\Delta BCA$
$\Rightarrow \widehat{ICK}=\widehat{CAB}$ và $\widehat{ICH}=\widehat{CBA}$
$\Rightarrow \Delta MAC$ cân và $\Delta MBC$ cân
$\Rightarrow MA=MC$ và $MB=MC$
$\Rightarrow MA=MB$
$\Rightarrow M$ là trung điểm $AB$
e)
Có: $\begin{cases}CK.CA=CE^2\\CH.CB=CE^2\end{cases}$
$\Rightarrow CK.CH=\dfrac{C{{E}^{4}}}{CA.CB}$
$\Rightarrow CK.CH=\dfrac{C{{E}^{4}}}{CE.BA}$
$\Rightarrow CK.CH=\dfrac{C{{E}^{3}}}{BA}$
$\Rightarrow CK.CH\le \dfrac{C{{M}^{3}}}{BA}$
$\Rightarrow CK.CH\le \dfrac{{{\left( \dfrac{BA}{2} \right)}^{3}}}{BA}$
$\Rightarrow CK.CH\le \dfrac{B{{A}^{2}}}{8}$
$\Rightarrow CK.CH\le \dfrac{{{c}^{2}}}{8}$
Dấu “=” xảy ra khi $\Delta CAB$ vuông cân tại $C$
