Đáp án: $B.\,\,0\le m\le 2$
Giải thích các bước giải:
$\log _{3}^{2}x+\sqrt{\log _{3}^{2}x+1}-2m-1=0$ $\left( x\in \left[ 1;{{3}^{\sqrt{3}}} \right] \right)$
$\Leftrightarrow \log _{3}^{2}x+1+\sqrt{\log _{3}^{2}x+1}=2m+2$
$\Leftrightarrow {{t}^{2}}+t=2m+2$ với $t=\sqrt{\log _{3}^{2}x+1},\,\,t\in \left[ 1;2 \right]$
Xét $f\left( t \right)={{t}^{2}}+1\Rightarrow f'\left( t \right)=2t+1$
Cho $f'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=-\dfrac{1}{2}$ (loại)
Vậy: $\begin{cases}\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( t \right)=f\left( 1 \right)=2\\\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( t \right)=f\left( 2 \right)=6\end{cases}$
Để có ít nhất một nghiệm thì:
$\min f\left( t \right)\le 2m+2\le \max f\left( t \right)$
$\Leftrightarrow 2\le 2m+2\le 6$
$\Leftrightarrow 0\le m\le 2$
Chọn câu $B$
