a) Ta có: $ABCD$ là hình thoi $(gt)$
$O = AC\cap BD \, (gt)$
$\Rightarrow OA = OC; \, OB = OD; \, AC\perp BD$
Xét $∆SAC$ cân tại $S$ $(SC = SA)$
có $OA = OC$
$\Rightarrow SO\perp AC$
Tương tự, ta được $SO\perp BD$
$\Rightarrow SO\perp (ABCD)$
b) Ta có: $SO\perp AC$
$AC\perp BD$
$\Rightarrow AC\perp (SBD)$
c) Ta có: $SO\perp BD$
$BD\perp AC$
$\Rightarrow BD\perp (SAC)$
d) Ta có: $SO\perp (ABCD)$
$\Rightarrow OA$ là hình chiếu của $SA$ lên $(ABCD)$
$\Rightarrow \widehat{(SA;(ABCD))} = \widehat{SAO}$
Ta được: $\sin\widehat{SAO} = \dfrac{SO}{SA} = \dfrac{\dfrac{a\sqrt3}{4}}{\dfrac{a}{2}} = \dfrac{\sqrt3}{2}$
$\Rightarrow \widehat{SAO} = 60^o$
Vậy $\widehat{(SA;(ABCD))} = 60^o$
e) Xét tứ diện $S.OCD$ có:
$SO, OC, OD$ đôi một vuông góc
$\Rightarrow \dfrac{1}{d(O;(SCD))^2} = \dfrac{1}{SO^2} + \dfrac{1}{OC^2} + \dfrac{1}{OD^2}$ $(*)$
Áp dụng định lý Pytago, ta được:
$SD^2 = SO^2 + OD^2$
$\Rightarrow OD = \sqrt{SD^2 - SO^2} = \dfrac{a}{4}$
$\Rightarrow OC = OD = \dfrac{a}{4}$
Thay vào $(*)$ ta được:
$\dfrac{1}{d(O;(SCD))^2} = \dfrac{1}{\left(\dfrac{a\sqrt3}{4}\right)^2} + \dfrac{2}{\left(\dfrac{a}{4}\right)^2}$
$\Rightarrow d(O;(SCD)) = \dfrac{a\sqrt{21}}{28}$
Do $OC= OA$
nên $d(O;(SCD)) = \dfrac{1}{2}d(A;(SCD))$
$\Rightarrow d(A;(SCD)) = \dfrac{a\sqrt{21}}{14}$
