$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} Bài\ 1:\\ a.\ x=4+2\sqrt{3} =\left(\sqrt{3} +1\right)^{2}\\ \Rightarrow B=\sqrt{\left(\sqrt{3} +1\right)^{2}} -4=\sqrt{3} +1-4=\sqrt{3} -3\\ b.\ A=\frac{x+5\sqrt{x} -27+\left( 3-\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{x} +4\right)}{\left(\sqrt{x} +4\right)\left(\sqrt{x} -4\right)} :\frac{1}{\sqrt{x} +4}\\ A=\frac{4\sqrt{x} -15}{\left(\sqrt{x} +4\right)\left(\sqrt{x} -4\right)} .\left(\sqrt{x} +4\right) =\frac{4\sqrt{x} -15}{\sqrt{x} -4}\\ c.\ M=A:B=\frac{4\sqrt{x} -15}{\sqrt{x} -4} .\left(\sqrt{x} -4\right) =4\sqrt{x} -15\geqslant -15\\ Vậy\ GTNN\ của\ M=-15\\ Bài\ 2:\\ a.\ Diện\ tích\ toàn\ phần\ của\ hộp\ sữa:\ \\ S_{TP} =2S_{đaý} +S_{xq} =2.4^{2} .3,14+2.3,14.4.10=351,68\ cm^{2}\\ Do\ tỉ\ lệ\ hao\ hụt\ là\ 5\%\\ \Rightarrow \ Diện\ tích\ để\ làm\ hộp\ là:351,68( 100\%+5\%) =369,264\ cm^{2}\\ b.\ Gọi\ thời\ gian\ để\ đội\ A\ hoàn\ thành\ công\ việc\ là\ x\ ( ngày) \ còn\ đội\ B\ là\ y\ ( ngày)\\ ĐK\ x,y >0\\ Trong\ 1\ ngày,\ đội\ A\ làm\ được\ \frac{1}{x} \ công\ việc\ và\ đội\ B\ làm\ được\ \frac{1}{y} \ công\ việc.\\ Trong\ 1\ ngày,\ cả\ 2\ đội\ làm\ được:\ \frac{1}{x} +\frac{1}{y} =\frac{1}{24} \ ( 1)\\ Theo\ bài\ ra\ ta\ có:\ \frac{10}{x} +\frac{12}{y} =\frac{9}{20} \ ( 2)\\ Từ\ ( 1)( 2) \Rightarrow \frac{1}{x} =\frac{1}{40} \ và\ \frac{1}{y} =\frac{1}{60} \Rightarrow x=40\ ( TM) \ và\ y=60\ ( TM)\\ Vậy\ thời\ gian\ để\ đội\ A\ hoàn\ thành\ công\ việc\ là\ 40\ ( ngày) \ còn\ đội\ B\ là\ 60\ ( ngày)\\ Bài\ 3:\\ 1.\ Đặt\ a=\frac{1}{\sqrt{x} -2} \ và\ b=\frac{1}{\sqrt{y+4}} \ ĐK\ b >0\\ Khi\ đó\ giải\ HPT\ ta\ có:\ a=\frac{1}{4} \ ( TM) \ và\ b=\frac{1}{9} \ ( TM)\\ \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x} -2} =\frac{1}{4} \ và\ \frac{1}{\sqrt{y+4}} =\frac{1}{9}\\ \Rightarrow x=36\ ( TM) \ và\ y=77\ ( TM)\\ Vậy\ ( x,y) =( 36;77)\\ 2.\ Xét\ \vartriangle '=( m-1)^{2} +m+3=m^{2} +m+4 >0\\ \Rightarrow PT\ luôn\ có\ 2\ nghiệm\ phân\ biệt\\ Theo\ Viet:\ x_{1} +x_{2} =2m-2;\ x_{1} x_{2} =-m-3\\ Ta\ có:\ x_{1}^{2} +x_{2}^{2} =( x_{1} +x_{2})^{2} -2x_{1} x_{2} =4( m-1)^{2} +2( m+3)\\ =4m^{2} -6m+10=\left( 2m-\frac{3}{2}\right)^{2} +\frac{31}{4} \geqslant \frac{31}{4}\\ Vậy\ GTNN\ của\ x_{1}^{2} +x_{2}^{2} =\frac{31}{4} .\ Dấu\ "="\ xảy\ ra\ \Leftrightarrow m=\frac{3}{4}\\ Bài\ 5:\\ Từ\ \frac{1}{a} +\frac{1}{b} =2\Rightarrow \frac{a+b}{ab} =2\\ \Rightarrow 2ab=a+b\geqslant 2\sqrt{ab} \ ( Cosi)\\ Ta\ có:\ a^{4} +b^{2} +2ab^{2} \geqslant 2\sqrt{a^{4} b^{2}} +2ab^{2} \ ( Cosi) =2a^{2} b+2ab^{2}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ b^{4} +a^{2} +2ba^{2} \geqslant 2\sqrt{b^{4} a^{2}} +2ba^{2} \ ( Cosi) =2b^{2} a+2ba^{2}\\ \Rightarrow T\leqslant \frac{1}{2a^{2} b+2ab^{2}} +\frac{1}{2b^{2} a+2ba^{2}} \leqslant \frac{1}{4} +\frac{1}{4} =\frac{1}{2}\\ Vậy\ GTLN\ của\ T=\frac{1}{2} .\ Dấu\ "="\ xảy\ ra\ \Leftrightarrow a=b=1\\ \\ \end{array}$
