Ta có
$V_{ABCD} = V_{NBPD} + V_{MBCP} + V_{MNPB} + V_{AMNC} + V_{PMNC}$
Vậy
$V_{BMNP} = V_{ABCD} -V_{NBPD} - V_{MBCP} - V_{AMNC} - V_{PMNC}$
- TÍnh $V_{NBPD}$
Ta có
$d(N, (BPD)) = \dfrac{ND}{AD} d(A, (BPD)) = \dfrac{2}{3} d(A, (BPD))$
và
$S_{BPD} = \dfrac{1}{2} S_{ABC}$
Vậy ta có
$V_{NBPD} = \dfrac{1}{3} d(N, (BPD)) . S_{BPD} = \dfrac{1}{3} . \dfrac{2}{3} d(A, (BPD)) . \dfrac{1}{2} S_{ABC} = \dfrac{1}{3} . \dfrac{1}{3} d(A, (BCD)) . S_{ABCD} = \dfrac{1}{3} V_{ABCD} = 4 (m^3)$.
- Tính $V_{MBCP}$
Lập luận tương tự như trên với $d(M, (BCP)) = \dfrac{1}{2} d(A, (BCP))$ và $S_{BCP} = \dfrac{1}{2} S_{ABC}$ ta có
$V_{MBCP} = \dfrac{1}{4} V_{ABCD} = 3 (m^3)$
- Tính $V_{AMNC}$
ÁP dụng công thức tỉ lệ thể tích ta có
$\dfrac{V_{AMNC}}{V_{ABCD}} = \dfrac{AM}{AB} . \dfrac{AN}{AD} = \dfrac{1}{2} . \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}$
Vậy $V_{AMNC} = \dfrac{1}{6} V_{ABCD} = 2(m^3)$.
- Tính $V_{PMNC}$
Ta có
$d(M, (CNP)) = d(M, (ACD)) = \dfrac{MA}{BA} d(B, (ACD)) = \dfrac{1}{2} d(B, (ACD))$.
Mặt khác, ta lại có
$S_{CNP} = \dfrac{1}{2} S_{NCD} = \dfrac{1}{2} . \dfrac{2}{3} S_{ACD} = \dfrac{1}{3} S_{ACD}$
Vậy
$V_{PMNC} = \dfrac{1}{3} d(M, (CNP)) . S_{CNP} = \dfrac{1}{3} . \dfrac{1}{2} d(B, (ACD)) . \dfrac{1}{3} S_{ACD} = \dfrac{1}{6} V_{ABCD} = 2 (m^3)$.
Vậy $V_{BMNP} = 12 - 4-3-2-2 = 1 (m^3)$.
