Đáp án:
$(x; y)=(1; 0); (64; -63); (4; -3)$
Giải thích các bước giải:
$\begin{cases}x^2+y^2+\dfrac{2xy}{x+y}=1 (1)\\\sqrt{3x^2+33}+3\sqrt{2x+y-1}=3x+y+6 (2)\end{cases}$
ĐK $2x+y \geq 1; x+y \neq 0$
Ta có: $(1) ⇔ (x^2+y^2)(x+y)+2xy=x+y$
$⇔ x^3+y^3+x^2y+xy^2+2xy-x-y=0$
$⇔ (x+y)(x^2-xy+y^2)+xy(x+y-1)+3xy-x-y+1-1=0$
$⇔ (x+y)(x^2-xy+y^2)-(x^2-xy+y^2)+(x^2+2xy+y^2)+xy(x+y-1)-(x+y-1)-1=0$
$⇔ (x^2-xy+y^2)(x+y-1)+xy(x+y-1)+(x+y)^2-1=0$
$⇔ (x^2-xy+y^2)(x+y-1)+xy(x+y-1)+(x+y-1)(x+y+1)=0$
$⇔ (x+y-1)(x^2-xy+y^2+xy+x+y+1)=0$
$⇔ (x+y-1)(x^2+y^2+x+y+1)=0$
$⇔ \left[ \begin{array}{l}x+y-1=0\\x^2+y^2+x+y+1=0\end{array} \right.$
$*)$ $TH1:$ $x^2+y^2+x+y+1=0$
$⇔ 2x^2+2y^2+2x+2y+2=0$
$⇔ x^2+y^2+(x+1)^2+(y+1)^2=0$
Vì $x^2 \geq 0; y^2 \geq 0; (x+1)^2 \geq 0; (y+1)^2 \geq 0$
nên $\begin{cases}x=0\\y=0\\x+1=0\\y+1=0\end{cases}$
$\begin{cases}x=0\\y=0\\x=-1\\y=-1\end{cases}$ $\text{(vô lý)}$
$*)$ $TH2:$ $x+y-1=0 ⇔ y=1-x$
Khi đó, $(2) ⇔ \sqrt{3x^2+33}+3\sqrt{x}=3x+1-x+6$ (với $x \geq 0$)
$⇔ \sqrt{3x^2+33}+3\sqrt{x}=2x+7$
$⇔ 3x^2+33+9x+6\sqrt{x(3x^2+33)}=4x^2+28x+49$
$⇔ 6\sqrt{x(3x^2+33)}=x^2+19x+16$
$⇒ 36(3x^2+33)=x^4+361x^2+256+38x^3+32x^2+608x$
$⇔ x^4-70x^3+393x^2-580x+256=0$
$⇔ x^4-2x^3+x^2-68x^3+136x^2-68x+256x^2-512x+256=0$
$⇔ (x^2-2x+1)(x^2-68x+256)=0$
$⇔ (x-1)^2(x-64)(x-4)=0$
$⇔ \left[ \begin{array}{l}x=1 ⇒ y=0\\x=64 ⇒ y=-63\\x=4 ⇒ -3\end{array} \right.$
Thử lại ta thấy hệ phương trình có các cặp nghiệm:
$(x; y)=(1; 0); (64; -63); (4; -3)$
