`(2a)/sqrt{(a+b)(a+c)}`
`=a.(2/sqrt{(a+b).(a+c)})`
Áp dụng BĐT cosi:
`1/(a+b)+1/(a+c)>=2/sqrt{(a+b).(a+c)}`
`=>a.(2/sqrt{(a+b).(a+c)})<=a(1/(a+b)+1/(a+c))`
Tương tự:
`1/(a+c)+1/(4(b+c))>=1/sqrt{(a+c)(b+c)}`
`=>b/sqrt{(a+b).(b+c)}<=b(1/(a+c)+1/(4(b+c)))`
Tương tự như vậy ta có:
`c/sqrt{(a+c)(b+c)}<=c(1/(4(b+c))+1/(a+c))`
Cộng từng vế ta có:
`P<=a/(a+b)+a/(a+c)+b/(a+c)+b/(4(b+c))+c/(4(b+c))+c/(a+c)`
`<=>P<=a/(a+b)+b/(a+b)+a/(a+c)+c/(a+c)+b/(4(b+c))+c/(4(b+c))`
`<=>P<=1+1+1/4=9/4`
Dấu "=" xảy ra khi $\begin{cases}a+b=a+c\\a+c=4(b+c)\\a+c=4(b+c)\end{cases}$
`<=>` $\begin{cases}b=c\\a+b=4.2b\end{cases}$
`<=>` $\begin{cases}b=c\\a=7b\end{cases}$
`<=>` $\begin{cases}a=\dfrac{7}{\sqrt{15}}\\b=c=\dfrac{1}{\sqrt{15}}\end{cases}$
Theo mình thấy thì ở đây `a+b+c=(3sqrt{15})/5` hoặc `a+b+c=(3sqrt3)/sqrt5` thì `a=7/sqrt{15},b=c=1/sqrt{15}` nhé!
