Đáp án + Giải thích các bước giải:
$1. a. a^{3} + b^{3}$
$= ( a^{3} + a^{2}b ) + ( ab^{2} + b^{3} ) - ( a^{2}b + ab^{2} )$
$= a^{2}( a + b ) + b^{2}( a + b ) - ab( a + b )$
$= ( a + b )( a^{2} + b^{2} - ab )$
$= ( a + b )[ a( a + b ) + b( a + b ) - 3ab ]$
$= ( a + b )[ ( a + b )^{2} - 3ab ]$
$= ( a + b )^{3} - 3ab( a + b )$
$b. a^{3} - b^{3}$
$= ( a^{3} - a^{2}b ) + ( ab^{2} - b^{3} ) + ( a^{2}b - ab^{2} )$
$= a^{2}( a - b ) + b^{2}( a - b ) + ab( a - b )$
$= ( a - b )( a^{2} + b^{2} + ab )$
$= ( a - b )[ a( a - b ) - b( a - b ) + 3ab ]$
$= ( a - b )[ ( a - b )^{2} + 3ab ]$
$= ( a - b )^{3} + 3ab( a - b )$
$4. a. x^{3} + y^{3} + 3xy$
$= ( x^{3} + y^{3} ) + 3xy( x + y )$
$= ( x + y )^{3} - 3xy( x + y ) + 3xy( x + y )$ ( áp dụng phần a bài 3 )
$= ( x + y )^{3}$
$= 1$
$b. x^{3} - y^{3} - 3xy$
$= ( x^{3} - y^{3} ) - 3xy( x - y )$
$= ( x - y )^{3} + 3xy( x + y ) - 3xy( x - y )$ ( áp dụng phần b bài 3 )
$= ( x - y )^{3}$
$= 1$
$5. a. A = ( 2x + 3 )( 4x^{2} - 6x + 9 ) - 2( 4x^{3} - 1 )$
⇔ $A = 2x( 4x^{2} - 6x + 9 ) + 3( 4x^{2} - 6x + 9 ) - 8x^{3} + 2$
⇔ $A = 8x^{3} - 12x^{2} + 18x + 12x^{2} - 18x + 27 - 8x^{3} + 2$
⇔ $A = 29$
Vậy $A = 29$ với $∀ x$
$b. B = ( x + y )( x^{2} - xy + y^{2} ) + ( x - y )( x^{2} + xy + y^{2} ) - 2x^{3}$
⇔ $B = x( x^{2} - xy + y^{2} ) + y( x^{2} - xy + y^{2} ) + x( x^{2} + xy + y^{2} ) - y( x^{2} + xy + y^{2} ) - 2x^{3}$
⇔ $B = x^{3} - x^{2}y + xy^{2} + x^{2}y - xy^{2} + y^{3} + x^{3} + x^{2}y + xy^{2} - x^{2}y - xy^{2} - y^{3} - 2x^{3}$
⇔ $B = ( x^{3} + x^{3} - 2x^{3} ) + ( - x^{2}y + x^{2}y + x^{2}y - x^{2}y ) + ( xy^{2} - xy^{2} + xy^{2} - xy^{2} )$
⇔ $B = 0$
Vậy $B = 0$ với $∀ x , y$
