Giải thích các bước giải:

a.Vì $CA,CB$ là tiếp tuyến của $(O)\to CA\perp OA, CB\perp OB$

Mà $OM\perp EF$

$\to\widehat{EAO}=\widehat{EMO}=90^o,\widehat{OMD}=\widehat{OBD}=90^o$

$\to OMAE$ nội tiếp đường tròn đường kính $OE, OBDM$ nội tiếp đường tròn đường kính $OD$

b.Từ câu a

$\to\widehat{OEM}=\widehat{OAM}=\widehat{OAB}=\widehat{OBA}=\widehat{OBM}=\widehat{ODM}$

$\to\Delta ODE$ cân tại $O$

Mà $OM\perp EF\to M$ là trung điểm $EF$

c.Từ câu b$\to OE=OD$

$\to OE^2-OA^2=OD^2-OB^2$

$\to AE^2=BD^2$

$\to AE=BD$

Mà $CA,CB$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to CA^2-AE^2=(CA-AE)(CA+AE)=(CB-DB)(CA+AE)=CD.CE$

d.Gọi $OC\cap AB=F$

Vì $CA,CB$ là tiếp tuyến của $(O)\to OC\perp AB=F$ là trung điểm $AB$

$\to FA=FB=\dfrac12AB=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}=\dfrac{OA\sqrt{3}}{2}$

$\to\Delta OAF$ là nửa tam giác đều

$\to \widehat{AOF}=60^o, OF=\dfrac12R$

$\to \widehat{AOB}=60^o$

$\to \widehat{OAB}=\widehat{OBA}=30^o$

Mà $BM=2AM\to BM=\dfrac23AB=\dfrac{2R\sqrt{3}}{3}$

$\to AM=\dfrac{R\sqrt{3}}{3}$

$\to FM=FA-AM=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}-\dfrac{R\sqrt{3}}{3}=\dfrac{R\sqrt{3}}{6}$

$\to OM=\sqrt{OF^2+FM^2}=\sqrt{(\dfrac12R)^2+(\dfrac{R\sqrt{3}}{6})^2}=\dfrac{R}{\sqrt{3}}$

$\to OM^2+OB^2=MB^2$

$\to \Delta OMB$ vuông tại $O$

Mà $\widehat{OBM}=30^o\to\Delta OMB$ là nửa tam giác đều

$\to S_{OMB}=\dfrac12\cdot \dfrac{BM^2\sqrt{3}}{4}$

$\to S_{OMB}=\dfrac12\cdot \dfrac{(\dfrac{2R\sqrt{3}}{3})^2\sqrt{3}}{4}$

$\to S_{OMB}=\dfrac{R^2\sqrt{3}}{6}$

Vì $OMAE$ nội tiếp $\to\widehat{OMB}=\widehat{OEC}$

Mà $\widehat{OBM}=\widehat{OBA}=\widehat{OCA}$

$\to\Delta OEC\sim\Delta OMB(g.g)$

$\to \dfrac{S_{OEC}}{S_{OMB}}=(\dfrac{OC}{OB})^2=2^2=4$

$\to S_{OEC}=4S_{OMB}=\dfrac{2R^2\sqrt{3}}{3}$