Đáp án:

$\\$

`a,`

Do `AD` là tia phân giác của `hat{A}` (giả thiết)

`-> hat{BAD} =hat{EAD}`

Xét `ΔABD` và `ΔAED` có :

\(\left\{ \begin{array}{l}\text{AD chung}\\ \text{AD=AE (giả thiết)}\\ \widehat{BAD}=\widehat{EAD} \text{(chứng minh trên)}\end{array} \right.\)

`-> ΔABD = ΔAED` (cạnh - góc - cạnh)

`-> BD=DE` (2 cạnh tương ứng)

$\\$

$\\$

`b,`

Do `ΔABD=ΔAED` (chứng minh trên)

`-> hat{ABD} = hat{AED}` (2 góc tương ứng)

Có : \(\left\{ \begin{array}{l}\widehat{ABD}+\widehat{MBD}=180^o \text{(2 góc kề bù)}\\ \widehat{AED}+\widehat{CED}=180^o \text{(2 góc kề bù)}\end{array} \right.\)

mà `hat{ABD}=hat{AED}` (chứng minh trên)

`-> hat{MBD} = hat{CED}`

Xét `ΔBDM` và `ΔEDC` có :

\(\left\{ \begin{array}{l}\text{BD=DE (chứng minh trên)}\\ \widehat{BDM}=\widehat{EDC}\text{(2 góc đối đỉnh)}\\ \widehat{MBD}=\widehat{CED} \text{(chứng minh trên)}\end{array} \right.\)

`-> ΔBDM = ΔEDC` (góc - cạnh - góc)

$\\$

$\\$

`c,`

Có : `hat{ABD} = hat{AED}` (chứng minh trên)

hay `hat{ABC}=hat{AED}`

Có : `hat{AED} + hat{DEC} = 180^o` (2 góc kề bù)

`-> hat{DEC} = 180^o - hat{AED}`

mà `hat{ABC}=hat{AED}` (chứng minh trên)

`-> hat{DEC} = 180^o - hat{ABC}`

Áp dụng định lí tổng 3 góc `Δ` cho `ΔABC` có :

`hat{A} + hat{ABC} + hat{DCE} = 180^o`

`-> hat{A} + hat{DCE} = 180^o - hat{ABC}`

mà `180^o-hat{ABC}=hat{DEC}` (chứng minh trên)

`-> hat{A} + hat{DCE} = hat{DEC}`

`-> hat{DCE} < hat{DEC}`

Xét `ΔDEC` có :

`hat{DCE} < hat{DEC}` (chứng minh trên)

Áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện có :

`DE < DC`

$\\$

Có : `DE < DC` (chứng minh trên)

mà `DE=BD` (chứng minh trên)

`-> BD < DC`

$\\$

$\\$

`d,`

Do `ΔBDM = ΔEDC` (chứng minh trên)

`-> BM=EC` (2 cạnh tương ứng)

Có : \(\left\{ \begin{array}{l}AB + BM = AM\\AE + EC = AC\end{array} \right.\)

mà `AB=AE` (giả thiết), `BM=EC` (chứng minh trên)

`-> AM =AC`

`-> ΔAMC` cân tại `A`

$\\$

$\\$

`e,`

Gọi `H` là giao của `AD` và `MC (H ∈MC)`

Có : `AH` là tia phân giác của `hat{A}`

`-> hat{MAH} = hat{CAH}`

Xét `ΔAHM` và `ΔAHC` có :

\(\left\{ \begin{array}{l}\text{AM=AC (chứng minh trên)}\\ \widehat{MAH}=\widehat{CAH}\text{(chứng minh trên)}\\  \text{AH chung}\end{array} \right.\)

`-> ΔAHM = ΔAHC` (cạnh - góc - cạnh)

`-> hat{AHM} = hat{AHC}` (2 góc tương ứng)

Có : `hat{AHM} +hat{AHC} = 180^o` (2 góc kề bù)

mà `hat{AHM} = hat{AHC}` (chứng minh trên)

`-> hat{AHM} = hat{AHC}=180^o/2 = 90^o`

`-> AH⊥MC`

mà `AD` cắt `MC` tại `H`

`-> AD⊥MC`