Đáp án:

$\\$

`a,`

Có : `AM` là đường trung tuyến (gt)

`-> M` là trung điểm của `BC`

Xét `ΔAMB` và `ΔEMC` có :

`hat{AMB}=hat{EMC}` (2 góc đối đỉnh)

`AM=EM` (gt)`

`BM=CM` (Do `M` là trung điểm của `BC`)

`-> ΔAMB = ΔEMC` (cạnh - góc - cạnh)

`-> AB=CE` (2 cạnh tương ứng)

và `hat{MBA}=hat{MCE}` (2 góc tương ứng)

mà 2 góc này ở vị trí so le trong

$→ AB//CE$

Có : $\begin{cases} AB⊥AC\\AB//CE\end{cases}$ (gt, cmt)

$→ CE⊥AC$

$\\$

`2,`

Xét `ΔABC` và `ΔCEA` có :

`AB=CE` (cmt)

`hat{BAC}=hat{ECA}=90^o` (Do `AB⊥AC, EC⊥AC`)

`AC` chung

`-> ΔABC = ΔCEA` (cạnh - góc - cạnh)

`-> BC = AE` (2 cạnh tương ứng)

Do $AD//BC$ (gt)

`-> hat{CAD}=hat{ACB}` (2 góc so le trong)

Xét `ΔABC` và `ΔCDA` có :

`AC` chung

`hat{ACB}=hat{CAD}` (cmt)

`hat{BAC}=hat{DCA}=90^o`

`-> ΔABC = ΔCDA` (góc - cạnh - góc)

`-> AD = BC` (2 cạnh tương ứng)

mà `BC=AE` (cmt)

`-> AD=AE (=BC)`

Xét `ΔACE` và `ΔACD` có :

`hat{ACE}=hat{ACD}=90^o`

`AC` chung

`AE=AD` (cmt)

`-> ΔACE=ΔACD` (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

`-> CE=CD` (2 cạnh tương ứng)

`-> C` là trung điểm của `DE`

`-> AC` là đường trung tuyến của `ΔAED`

$\\$

`3,`

Có : `M` là trung điểm của `BC`

`-> CM = 1/2 BC`

mà `BC = AD` (cmt)

`-> CM = 1/2 AD`

Do $AD//BC$ (gt)

`-> hat{MCH}=hat{KAH}` (2 góc so le trong)

Xét `ΔMCH` và `ΔKAH` có :

`CH=AH` (Do `H` là trung điểm của `AC`)

`hat{MHC}=hat{KHA}=90^o` (gt)

`hat{MCH}=hat{KAH}` (cmt)

`-> ΔMCH = ΔKAH` (góc - cạnh - góc)

`-> MC= AK` (2 cạnh tương ứng)

mà `MC= 1/2 AD` (cmt)

`-> AK = 1/2 AD`

`-> K` là trung điểm của `AD`

`-> EK` là đường trung tuyến của `ΔAED`

Có : `AM=EM` (gt)

`-> M` là trung điểm của `AE`

`-> DM` là đường trung tuyến của `ΔAED`

Xét `ΔAED` có :

`AC` là đường trung tuyến (cmt)

`DM` là đường trung tuyến (cmt)

`AC` cắt `DM` tại `G`

`-> G` là trọng tâm của `ΔAED`

mà `EK` là đường trung tuyến của `ΔAED` (cmt)

`-> EK` đi qua `G`

`-> E,G,K` thẳng hàng