Gọi $I$ là giao 3 đường trung tuyến $ΔABC$
KẺ $EG⊥BE$ TẠI $E$
$⇒I$ là trọng tâm tam giác $ABC$
$⇒BE⊥CF$ tại $I$
Xét $ΔIBC$ vuông tại $I$
có $ID$ là đường trung tuyến ( do $AD$ là đường trung tuyến)
$⇒ID=DB=DC=\dfrac{1}{2}BC$
Hay $\dfrac{1}{3}.AD=DB=DC=\dfrac{1}{2}BC$ (do $AD$ là đường trung tuyến)
Ta có $EG⊥BE$ mà $BE⊥CF⇒EG//CF$
Xét $ΔABC$ có:
$F$ là trung điểm $AB$
$E$ là trung điểm $AC$
$⇒EF$ là đường trung bình $ΔABC$
$⇒EF//=\dfrac{1}{2}BC$
Ta có tứ giác $EFCG$ có: $EF//CG;EG//CF$
$⇒EFCG$ là hình bình hành
$⇒CF=EG$
$EF=CG$
Xét $ΔBEG$ vuông tại $E$
$⇒BE^2+EG^2=BG^2$ định lí Pitago
$⇒BE^2+CF^2=BG^2$ do $CF=EG$
Ta cần chứng minh $BG^2=AD^2$ Hay $BG=AD$
Thật vậy:
Ta có: $EF=\dfrac{1}{2}BC$ Mà $EF=CG$
$⇒CG=\dfrac{1}{2}BC$
Lại có: $\dfrac{1}{3}.AD=DB=DC=\dfrac{1}{2}BC$
$⇒\dfrac{1}{3}.AD=DB=DC=CG$
Hay $3.\dfrac{1}{3}.AD=DB+DC+GC$
Hay $AD=BG$
$⇒BG^2=AD^2$
$⇒BE^2+CF^2=AD^2(đpcm)$
B7 Hình vẽ
