Đáp án + giải thích các bước giải:
1/ Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:
`**)x^4+y^4>=1/2 . (x^2+y^2)^2>=1/2 . [1/2 . (x+y)^2]^2=1/8 (x+y)^4`
`**)1/x^4+1/y^4>=2/(x^2y^2)>=2/((x+y)^4/16)=32/(x+y)^4`
`->P>=[(x+y)^4/8 +z^4][32/(x+y)^4 +1/z^4]==4 + (32z^4)/(x+y)^4 +1/8 (x+y)^4/z^4 + 1`
Đặt `(x+y)^4/z^4=t->t<=1` vì `x+y<=z->(x+y)/z<=1`
`->P>=5+32/t + t/8=5+t/8+1/(8t)+255/(8t)>=5+2\sqrt{t/8 . 1/(8t)}+255/(8.1)=297/8`
Dấu bằng xảy ra khi `x=y=z/2`
2/ Ta sẽ chứng minh: `P>=1/x+1/y+1/z`
`->x/y^2+y/z^2+z/x^2>=x/x^2+y/y^2+z/z^2`
`->x/y^2+y/z^2+z/x^2-x/x^2-y/y^2-z/z^2>=0`
`->(x-y)/y^2+(y-z)/z^2+(z-x)/x^2>=0`
`->(x-y)/y^2+(y-z)/z^2-(x-y+y-z)/x^2>=0`
`->(x-y)/y^2-(x-y)/x^2 +(y-z)/z^2-(y-z)/x^2>=0`
Giả sử `x>=y>=z`, bất đẳng thức trên đúng.
`->P>=1/x+1/y+1/z=[xyz(1/x+1/y+1/z) ]/(x+y+z)=(xy+yz+zx)/(x+y+z)`
Áp dụng bất đẳng thức `(ab+bc+ca)^2>=3abc(a+b+c)`
`->P>=\sqrt{3xyz(x+y+z)}/(x+y+z)=\sqrt{(3xyz)/(x+y+z)}=\sqrt{3}`
Dấu bằng xảy ra khi `x=y=z=\sqrt{3}`
3/ `(a+b+c)^3/(27abc)+(6(ab+bc+ca))/(a+b+c)^2>=3`
$\to\dfrac{(a+b+c)^3}{9abc}+\dfrac{18(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2}\ge9 \\\to \dfrac{3}{\dfrac{3a}{a+b+c}.\dfrac{3b}{a+b+c}.\dfrac{3c}{a+b+c}}+2\bigg(\dfrac{3a}{a+b+c} . \dfrac{3b}{a+b+c}+\dfrac{3b}{a+b+c} . \dfrac{3c}{a+b+c}+\dfrac{3c}{a+b+c} . \dfrac{3a}{a+b+c} \bigg)\ge 9$
Đặt `\frac{3a}{a+b+c}=x;\frac{3b}{a+b+c}=y;\frac{3c}{a+b+c}=z\to x+y+z=3`
Ta cần chứng minh:
$\dfrac{3}{xyz}+2(xy+yz+zx)\ge 9 \\\to \dfrac{3}{xyz}+(x+y+z)^2\ge x^2+y^2+z^2+9$
mà `(x+y+z)^2=3^2=9` nên ta cần chứng minh:
$\dfrac{3}{xyz}\ge x^2+y^2+z^2 \\\to xyz(x^2+y^2+z^2)\le3$
Áp dụng bất đẳng thức `3abc(a+b+c)<=(ab+bc+ca)^2`
$\to xyz(x^{2}+y^{2}+z^{2})=\dfrac{1}{3}xyz(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}) \le \dfrac{1}{9}(xy+yz+zx)^2(x^{2}+y^{2}+z^{2})$
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:
$xyz(x^{2}+y^{2}+z^{2})=\dfrac{1}{3}xyz(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}) \le \dfrac{1}{9}(xy+yz+zx)^2(x^{2}+y^{2}+z^{2}) \le \dfrac{1}{9}\bigg[\dfrac{2(xy+yz+zx)+x^{2}+y^{2}+z^{2}}{3}\bigg]^3=\bigg[\dfrac{(x+y+z)^2}{3}\bigg]^3=3$
`->đpcm`
Dấu bằng xảy ra khi `a=b=c`
4/ Đặt `a=x/(y+z);b=y/(z+x)+z/(x+y)`
`->P=(y+z)/x+(z+x)/y+(x+y)/z-2(x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y))=y/x+z/x+z/y+x/y+x/z+y/z-2(x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y))`
Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu:
`1/y+1/z>=4/(y+z)`
`->x/y+x/z>=4 x/(y+z)`
Tương tự, có:
`x/y+x/z+y/z+y/x+z/x+z/y>=4 (x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y) )`
`->P>=4(x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)) - 2(x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y))=2(x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y))`
Mà theo bất đẳng thức Nesbitt, có:
`x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)>=3/2`
`->2(x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y))>=3`
`->P>=3`
Dấu bằng xảy ra khi `a=b=c=1/2`
5/ Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:
`\sqrt{2}(x+y)=\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}`
`->2(x+y)^2=x+y+2+2\sqrt{(x+1)(y+1)} <= x+y+2+(x+1+y+1)=2(x+y+2)`
`->2(x+y)^2-2(x+y)-4<=0`
`->(x+y)^2-(x+y)-2<=0`
`->P^2-P-2<=0`
Giải ra sẽ có `-1<=P<=2`
Tức GTLN của `P` là `2` đạt khi `x=y=1 `
Nhưng rõ ràng `-1` không phải GTNN của `P` vì `P>0`
Ta áp dụng bất đẳng thức `\sqrt{a}+\sqrt{b}>=\sqrt{a+b}`
`->\sqrt{2}(x+y)=\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}>=\sqrt{x+y+2}`
`->2(x+y)^2>=x+y+2`
`->2(x+y)^2-(x+y)-2>=0`
`->2P^2-P-2>=0`
Giải ra sẽ có `P>=(1+\sqrt{17})/4 `
Dấu bằng xảy ra khi `(x;y)=(-1;(5+\sqrt{17})/4)` và hoán vị
