Đáp án:
$1)\quad I = \displaystyle\iint\limits_Dx^2ydxdy= \dfrac{8}{15}$
$2)\quad I = \displaystyle\iint\limits_D(x+y)dxdy= \dfrac{28}{3}$
Giải thích các bước giải:
\(\begin{array}{l}
1)\quad I = \displaystyle\iint\limits_Dx^2ydxdy\quad \text{với}\quad D =\begin{cases}x = 0\\y=0\\x+y=2\end{cases}\\
\text{Phương trình hoành độ giao điểm:}\\
\quad 2 - x = 0 \Leftrightarrow x = 2\\
\text{Miền D được biểu diễn:}\\
D = \{(x,y):0\leqslant x \leqslant 2;\ 0 \leqslant 2 - x\}\\
\text{Ta được:}\\
\quad I = \displaystyle\int\limits_0^2dx\displaystyle\int\limits_0^{2-x}x^2ydy\\
\Leftrightarrow I = \displaystyle\int\limits_0^2\left(\dfrac{x^2y^2}{2}\right)\Bigg|_0^2dx\\
\Leftrightarrow I = \displaystyle\int\limits_0^2\left(\dfrac{x^4}{2} - 2x^3 + 2x^2\right)dx\\
\Leftrightarrow I = \left(\dfrac{x^5}{10} - \dfrac{x^4}{2} + \dfrac{2x^3}{3}\right)\Bigg|_0^2\\
\Leftrightarrow I = \dfrac{8}{15}\\
2)\quad I = \displaystyle\iint\limits_D(x+y)dxdy\quad \text{với}\quad D =\begin{cases}x = 0\\y=3\\y=2x-1\end{cases}\\
\text{Phương trình hoành độ giao điểm:}\\
\quad 2x- 1 = 3 \Leftrightarrow x = 2\\
\text{Miền D được biểu diễn:}\\
D = \{(x,y):0\leqslant x \leqslant 2;\ 2x-1 \leqslant 3\}\\
\text{Ta được:}\\
\Leftrightarrow I = \displaystyle\int\limits_0^2dx\displaystyle\int\limits_{2x-1}^3(x+y)dy\\
\Leftrightarrow I = \displaystyle\int\limits_0^2\left[\left(xy + \dfrac{y^2}{2}\right)\Bigg|_{2x-1}^3\right]dx\\
\Leftrightarrow I = \displaystyle\int\limits_0^2(-4x^2 +6x+4)dx\\
\Leftrightarrow I = \left(-\dfrac{4x^3}{3} + 3x^2 + 4x\right)\Bigg|_0^2\\
\Leftrightarrow I = \dfrac{28}{3}
\end{array}\)
