a) $M$ là trung điểm của $BC$
$NM\parallel AC(\bot AB)$
$\Rightarrow MN$ là đường trung bình $\Delta ABC$
$\Rightarrow MN\parallel=\dfrac{1}{2}AC$
$\Rightarrow AC=2MN$
b) $MN$ là đường trung bình $\Delta ABC$
$\Rightarrow N$ là trung điểm của $AB$ (1)
$MP\parallel AB(\bot AC)$
$M$ là trung điểm của $BC$
$\Rightarrow MP$ là đường trung bình $\Delta ABC$
$\Rightarrow P$ là trung điểm của $AC$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $NP$ là đường trung bình $\Delta ABC$
$\Rightarrow NP\parallel=\dfrac{1}{2}BC=BM$ (do $M$ là trung điểm $BC$)
$\Rightarrow BMPN$ là hình bình hành
c) Tứ giác $ANMP$ là hình chữ nhật ($\widehat A=\widehat N=\widehat P$)
$F=AM\cap NP$
$\Rightarrow F$ là trung điểm của $AM$
$E$ là trung điểm của $BM$
$\Rightarrow EF$ là đường trung bình $\Delta ABM$
$\Rightarrow ABEF$ là hình thang (3)
$\Delta ABM$ có $MN$ vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến
$\Rightarrow \Delta ABM$ cân đỉnh $M$
$\Rightarrow MA=MB$
$\Rightarrow BE=AF(=\dfrac{1}{2}BM)=\dfrac{1}{2}AM$ (4)
Từ (3) và (4)
Suy ra $ABEF$ là hình thang cân.
