Phương trình hoành độ giao điểm của $(d);\ (P)$ là
$ -2x^2 = mx +8$
$\to -2x^2 -mx -8 = 0$
$ \Delta = m^2 - 4.(-2).(-8) = m^2 - 64$
Để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
$\to \Delta >0 \to m^2 -64 > 0 \to m^2 > 64 \to m> 8$ hoặc $ m < -8$
Theo hệ thức Viète ta có
$\begin{cases} x_1+x_2 = \dfrac{-b}{a} = \dfrac{-m}{2} \\\\\\ x_1x_2 = \dfrac{c}{a} = 4 \end{cases}$
$ x_1^3 + x_2^3 = -65$
$\to (x_1+x_2).(x_1^2 -x_1x_2 +x_2^2) = -65$
$\to (x_1+x_2). [ (x_1+x_2)^2 - 3x_1x_2 ] = -65$
$\to \dfrac{-1}{2} m . [ ( \dfrac{-1}{2} m )^2 - 3x_1x_2 ] = -65$
$\to \dfrac{-1}{2} m . [ ( \dfrac{-1}{2} m )^2 -12 ] = -65$
$\to ( \dfrac{-1}{2} m)^3 + 6m = -65$
$\to \dfrac{-1}{8} m^3 +6m +65 = 0$
$\to -m^3 + 48m +520=0$
$\to m^3 - 48m -520 =0$
$\to m(m^2 +10m -52) - 10(m^2 + 10m -52) = 0$
$\to (m-10)(m^2 + 10m + 52) = 0$
Trường hợp $1$
$ m -10 = 0 \to m =10$ (thỏa mãn)
Trường hợp $2$
$m^2 +10m +52 = 0$
$\to (m^2+10m +25) +27=0$
$\to (m+5)^2+ 27 =0$ (vô lí)
Vậy $ m = 10$
