Đáp án:
Giải thích các bước giải:
1. Đặt $a = x - y; b = y - z; c = z - x ⇒ a + b + c = 0 (1)$
$x + y - 2z = b - c; y + z - 2x = c - a; z + x - 2y = a - b$
Thay vào đẳng thức:
$a² + b² + c² = (a - b)² + (b - c)² + (c - a)²$
$⇔ a² + b² + c² = 2(a² + b² + c²) - 2(ab + bc + ca)$
$⇔2(ab + bc + ca) = a² + b² + c² (2) $
$⇔4(ab + bc + ca) = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)$
$⇔4(ab + bc + ca) = (a + b + c)² = 0$ (theo $(1)$)
$⇒ ab + bc + ca = 0 ⇒ a² + b² + c² = 0$ (theo $(2)$)
$⇒ a = b = c = 0 ⇒ x = y = z$
2.
$\left \{ {{a² + b² + c² = 1(*)} \atop {a³ + b³ + c³ = 1(**)}} \right.$
Từ $(*) ⇒ a² ≤ 1 ⇒ a ≤ 1 ⇒ a³ ≤ a² (1)$
Tương tự : $b³ ≤ b² (2); c³ ≤ c² (3)$
$⇒ 1 = a³ + b³ + c³ ≤ a² + b² + c² = 1$
Đã xảy ra dấu $"=" ⇒$ phải đồng thời xảy ra dấu $"="$ ở $(1);(2); (3)$
$a³ = a² ⇔ a²(a - 1) = 0 ⇔ a = 0; a = 1$
Tương tự $ b = 0; b = 1; c = 0; c = 1$
- $a = 0 $ từ $ (*) ⇒ b² + c²=1 ⇒ b= 0; c =1 ⇒ a + b² + c³ = 1$
hoặc $b =1; c = 0 ⇒ a + b² + c³ = 1$
- $a = 1$ từ $ (*) ⇒ b² + c² = 0 ⇒ b = c = 0 ⇒ a + b² + c³ = 1$
