Đáp án:
Câu 3 :
$\text{a) Thay m =1 vào phương trình , ta có : }$
$⇔ x^2 -2(1+1).x+1^2+ 2.1=0$
$⇔x^2 -4x +3=0$
Ta có : $a +b +c = 1 +(-4) +3 = 0$
$\text{Phương trình có hai nghiệm phân biệt : }$
$x_1 = 1$
$x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{3}{1} = 3$
$\text{Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt }$
$x_1 =1$
$x_2 = 3$
$b) x^2 -2(m+1).x +m^2 +2m$
$(a =1 , b =-2(m+1) , c =m^2 +2m)$
$Δ = b^2 -4ac$
$= [-2(m+1)]^2 -4.1.(m^2+2m)$
$=4m^2+8m+4 -4m^2 -8m$
$=4 > 0$
Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1 , x_2$ với mọi m
-ÁP dụng định lí vi-ét , ta có :
$S=x_1 +x_2 = \dfrac{-b}{a} = \dfrac{2(m+1)}{1} = 2m+2$
$P= x_1 . x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{m^2+2m}{1} = m^2+2m$
Theo đề $x_1^2 +x_2^2$
$=(x_1+x_2)^2 -2.x_1 .x_2$
$= S^2 -2P$
$=(2m+2)^2 - 2.(m^2+2m)$
$=4m^2+8m+4 -2m^2-4m$
$= 2m^2 +4m +4$
$= (\sqrt[]{2}m)^2 +2. \sqrt[]{2}m . \sqrt[]{2} + (\sqrt[]{2})^2+ 2$
$=(\sqrt[]{2}m +\sqrt[]{2})^2+2$
Vì $(\sqrt[]{2}m +\sqrt[]{2})^2 ≥ 0$
Nên $(\sqrt[]{2}m +\sqrt[]{2})^2 +2 ≥ 2$
Dấu ''='' xảy ra khi $(\sqrt[]{2}m +\sqrt[]{2})^2 =0$
$⇔\sqrt[]{2}m +\sqrt[]{2} =0$
$⇔\sqrt[]{2}m =-\sqrt[]{2}$
$⇔m = -1$
Vậy Min của $x_1^2 +x_2^2 = 2$ khi $m =-1$
