Giải thích các bước giải:
a.Xét $\Delta CAD,\Delta CBE$ có:
$CA=CB$
$\widehat{ACD}=180^o-\widehat{DCE}=180^o-60^o=180^o-\widehat{BCA}=\widehat{BCE}$
$CD=CE$
$\to\Delta CAD=\Delta CBE(c.g.c)$
$\to \widehat{ADC}=\widehat{BEC}\to\widehat{KDC}=\widehat{NEC}$
Mặt khác $NE=\dfrac12BE=\dfrac12AD=DK, CD=CE$
$\to\Delta CNE=\Delta CKD(c.g.c)$
$\to CK=CN,\widehat{KCD}=\widehat{NCE}$
$\to \widehat{KCN}=180^o-\widehat{KCA}-\widehat{CNE}=180^o-\widehat{ACK}-\widehat{KCD}=\widehat{DCE}=60^o$
$\to \Delta CKN$ đều
b.Gọi $F$ là trung điểm $BD$
Ta có $K, M$ là trung điểm $AD, BC$
$\to KF, MF$ là đường trung bình $\Delta BDC, \Delta BDA$
$\to KF//AB, MF//CD$
Ta có $\widehat{DCE}=\widehat{BAC}(=60^o)\to AB//CD$
$\to MF//AB$
Do $KF//AB\to M, K, F$ thẳng hàng
$\to KM//AB$
Ta có $KF//AB//CD$
$\to KCDF$ là hình thang
Ta có $\widehat{BDC}=180^o-\widehat{BCA}-\widehat{DCE}=60^o$
Vì $F, I, K$ là trung điểm $BD, CD, AD$
$\to FI//BC, KI//AC, FI=\dfrac12BC, KI=\dfrac12AC$
$\to FI, KI$ là đường trung bình $\Delta BDC, \Delta CAD$
Xét $\Delta DFI,\Delta CKI$ có:
$ID=IC$ vì $I$ là trung điểm $CD$
$\widehat{KIC}=\widehat{DCE}=60^o=\widehat{BCD}=\widehat{FID}$
$FI=\dfrac12BC=\dfrac12AC=KI$
$\to\Delta DIF=\Delta CIK(c.g.c)$
$\to CK=DK=\dfrac12BD$
Do $\Delta CKN$ đều $\to CK=KN$
$\to KN=\dfrac12BD$
$\to BD=2KN$
