Xét ptrinh hoành độ giao điểm
$x^3 - 3x^2 + x + 2 = mx - m + 1$
$<-> x^3 - 3x^2 + (1-m)x + 1+m = 0$
$<-> (x-1)(x^2 - 2x - m -1) = 0$
Để hai đồ thị cắt nhau tại 3 điểm phân biệt, ptrinh hoành độ giao điểm phải có 3 nghiệm phân biệt. Do đó, ptrinh
$x^2 - 2x - m -1 = 0$
$\Delta' = 1-(-m-1) = m$
phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1. Do đó $\Delta' > 0$ và $1 - 2 - m - 1 \neq 0$
Vậy $m > 0$.
Khi đó, hoành độ của 2 điểm là $1-\sqrt{m}$ và $1 + \sqrt{m}$
Ta thấy hoành độ hai điểm này đối xứng qua đường thẳng x = 1.
Vậy để thỏa mãn đề bài thì B phải là điểm có hoành độ là 1.
DO đó, tọa độ 3 điểm A, B, C là
$A(1 - \sqrt{m},1 - m\sqrt{m}); B(1, 1); C(1 + \sqrt{m}, 1 + m\sqrt{m})$
Ta thấy rằng
$\dfrac{x_A + x_C}{2} = \dfrac{1-\sqrt{m} + 1 + \sqrt{m}{2} = 1 = x_B$
$\dfrac{y_A + y_C}{2} = \dfrac{1 - m\sqrt{m} + 1 + m\sqrt{m}}{2} = 1 = y_B$
Vậy B là trung điểm của AC, do đó luôn có AB = BC.
Vậy điều kiện duy nhất cần thỏa mãn là $m > 0$.
