Giải thích các bước giải:

a) Ta có:

$HP//NT$ (do $HP,NT$ cùng vuông góc với $MN$)

$HN//PT$ (do $HN,PT$ cùng vuông góc với $MP$)

$\to NHPT$ là hình bình hành.

b) Gọi D là giao điểm của MT và KI.

Ta có:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {MKP} = \widehat {MIN} = {90^0}\\
\widehat Mchung
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \Delta MKP \sim \Delta MIN(g.g)\\
 \Rightarrow \dfrac{{MK}}{{MI}} = \dfrac{{MP}}{{MN}} \Rightarrow \dfrac{{MK}}{{MP}} = \dfrac{{MI}}{{MN}}\\
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat Mchung\\
\dfrac{{MK}}{{MP}} = \dfrac{{MI}}{{MN}}
\end{array} \right. \Rightarrow \Delta MKI \sim \Delta MPN(g.g) \Rightarrow \widehat {MKI} = \widehat {MPN}
\end{array}$

Hay $\widehat {MKD} = \widehat {MTN}(1)$

Mà tứ giác $MNTP$ có $\widehat {MNT} = \widehat {MPT} = {90^0}$ nên theo BT 2 có:$\widehat {MPN} = \widehat {MTN}(2)$

Từ (1),(2) $\to \widehat {MKD} = \widehat {MTN}$

Có:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {MKD} = \widehat {MTN}\\
\widehat Mchung
\end{array} \right. \Rightarrow \Delta MKD \sim \Delta MTN(g.g)\\
 \Rightarrow \widehat {MDK} = \widehat {MNT} = {90^o}\Rightarrow MT\perp KI
\end{array}$

c) 

Ta có:

$\Delta MKI \sim \Delta MPN(g.g) \Rightarrow \widehat {MIK} = \widehat {MNP} \Rightarrow \widehat {{\rm{MIS}}} = \widehat {MNJ}$

Lại có:

Tứ giác $MNTP$ có $\widehat {MNT} = \widehat {MPT} = {90^0}$ nên theo BT 2 có: $\widehat {MTP} = \widehat {MNP} \Rightarrow \widehat {MTP} + \widehat {NMH} = {90^0}$

Mà $\widehat {MTP} + \widehat {PMT} = {90^0}$

$ \Rightarrow \widehat {NMH} = \widehat {PMT} \Rightarrow \widehat {NMH} + \widehat {HMT} = \widehat {PMT} + \widehat {HMT} \Rightarrow \widehat {{\rm{IMS}}} = \widehat {NMJ}$

Như vậy:

$\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {{\rm{IMS}}} = \widehat {NMJ}\\
\widehat {{\rm{MIS}}} = \widehat {MNJ}
\end{array} \right. \Rightarrow \Delta M{\rm{IS}} \sim \Delta {\rm{MNJ(g}}{\rm{.g)}}$

d) Ta có:

$\begin{array}{l}
\widehat {NMH} = \widehat {PMT} \to \widehat {KMH} = \widehat {PMT}\\
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {KMH} = \widehat {PMT}\\
\widehat {MKH} = \widehat {MPT} = {90^0}
\end{array} \right. \Rightarrow \Delta KMH \sim \Delta PMT\left( {g.g} \right)\\
 \Rightarrow \dfrac{{KM}}{{PM}} = \dfrac{{MH}}{{MT}}\left( 1 \right)
\end{array}$

$\begin{array}{l}
\widehat {KMH} = \widehat {PMT} \to \widehat {KMS} = \widehat {PMJ};\widehat {MSI} = \widehat {MJN} \to \widehat {KSM} = \widehat {PJM}\\
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {KMS} = \widehat {PMJ}\\
\widehat {KSM} = \widehat {PJM}
\end{array} \right. \Rightarrow \Delta KMS \sim \Delta PMJ\left( {g.g} \right)\\
 \Rightarrow \dfrac{{KM}}{{PM}} = \dfrac{{MS}}{{MJ}}\left( 2 \right)
\end{array}$

Từ (1),(2) suy ra: $\dfrac{{MS}}{{MJ}} = \dfrac{{MH}}{{MT}}\to SJ//HT$