1) $2\cos^2x - 3\cos x + 1 = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\cos x = 1\\\cos x =\dfrac12\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = k2\pi\\x =\pm \dfrac{\pi}{3} + k2\pi\end{array}\right.\quad (k\in\Bbb Z)$

2) $\sqrt3\sin2x -\cos2x = 1$

$\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt3}{2}\sin2x -\dfrac12\cos2x =\dfrac12$

$\Leftrightarrow \sin\left(2x - \dfrac{\pi}{6}\right) =\sin\dfrac{\pi}{6}$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}2x -\dfrac{\pi}{6} =\dfrac{\pi}{6} + k2\pi\\2x -\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6} + k2\pi\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = \dfrac{\pi}{6} + k\pi\\x= \dfrac{\pi}{2} + k\pi\end{array}\right.\quad (k\in\Bbb Z)$

3) $2\sin^2x -\sin x\cos x -\cos^2x = 2$

+) Với $\cos x = 0 \to \sin^2x = 1$

Phương trình trở thành: $2 = 2$ (hiển nhiên)

Do đó $x =\dfrac{\pi}{2} + k\pi$ là một họ nghiệm của phương trình

+) Với $\cos x \ne 0$

Chia hai vế của phương trình cho $\cos^2x$ ta được:

$2\tan^2x - \tan x - 1 = 2(\tan^2x +1)$

$\Leftrightarrow \tan x = - 3$

$\Leftrightarrow x = \arctan(-3)+ k\pi$

Vậy phương trình có các họ nghiệm là $x =\dfrac{\pi}{2} + k\pi$ và $x = \arctan(-3) + k\pi$ với $k \in\Bbb Z$

4) $\sin^23x +\sin^24x = \sin^25x +\sin^26x$

$\Leftrightarrow \dfrac{1 -\cos6x}{2} +\dfrac{1 -\cos8x}{2}=\dfrac{1 -\cos10x}{2} +\dfrac{1 -\cos12x}{2}$

$\Leftrightarrow \cos12x -\cos6x + \cos10x - \cos8x = 0$

$\Leftrightarrow -2\sin9x\sin3x - 2\sin9x\sin x = 0$

$\Leftrightarrow \sin9x(\sin3x +\sin x) = 0$

$\Leftrightarrow \sin9x\sin2x\cos x = 0$

$\Leftrightarrow \sin9x\sin x\cos^2x = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\sin9x = 0\\\sin x = 0\\\cos x = 0\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}9x =k\pi\\x =k\pi\\x =\dfrac{\pi}{2} + k\pi\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = k\dfrac{\pi}{9}\\x = k\dfrac{\pi}{2}\end{array}\right.\quad (k\in\Bbb Z)$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = k\pi\\x =\dfrac{\pi}{9} + k\pi\\x =\dfrac{2\pi}{9} + k\pi\\x = \dfrac{\pi}{3} + k\pi\\x =\dfrac{4\pi}{9} + k\pi\end{array}\right.\quad (k\in\Bbb Z)$