Lời giải:
a) Ta có:
$EF\perp AQ$ tại $I$
$\Rightarrow \widehat{AIE} = 90^\circ$
$\Rightarrow \widehat{IAE} + \widehat{AEI} = 90^\circ$
$\Rightarrow \widehat{QAC} + \widehat{AEF}= 90^\circ\qquad (1)$
Ta lại có:
$\widehat{ACQ} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
$\Rightarrow \widehat{QAC} + \widehat{AQC} = 90^\circ$
mà $\widehat{AQC} = \widehat{ABC}$ (cùng chắn $\mathop{AC}\limits^{\displaystyle\frown}$)
nên $\widehat{QAC} + \widehat{ABC} = 90^\circ\qquad (2)$
Từ $(1)(2)\Rightarrow \widehat{AEF} = \widehat{ABC} = \widehat{FBC}$
Xét tứ giác $BFEC$ có:
$\widehat{AEF} = \widehat{FBC}\quad (cmt)$
Do đó $BFEC$ là tứ giác nội tiếp
$\Rightarrow \widehat{BFC} = \widehat{BEC} = 90^\circ$
b) Xét $\triangle AIE$ và $\triangle ACQ$ có:
$\begin{cases}\widehat{A}:\ \text{góc chung}\\\widehat{I} = \widehat{C} = 90^\circ\end{cases}$
Do đó $\triangle AIE\backsim \triangle ACQ\ (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{AI}{AC} = \dfrac{AE}{AQ}$
$\Rightarrow AI.AQ = AE.AC\qquad (3)$
Xét $\triangle AFH$ và $\triangle ADB$ có:
$\begin{cases}\widehat{A}:\ \text{góc chung}\\\widehat{F} = \widehat{D} = 90^\circ\end{cases}$
Do đó $\triangle AFH \backsim \triangle ADB\ (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{AF}{AD} = \dfrac{AH}{AB}$
$\Rightarrow AF.AB = AH.AD\qquad (4)$
Ta lại có: $BFEC$ là tứ giác nội tiếp (câu a)
$\Rightarrow AE.AC = AF.AB\qquad (5)$
Từ $(3)(4)(5)\Rightarrow AI.AQ = AH.AD$
$\Rightarrow \dfrac{AI}{AD} = \dfrac{AH}{AQ}$
Xét $\triangle AIH$ và $\triangle ADQ$ có:
$\begin{cases}\dfrac{AI}{AD} = \dfrac{AH}{AQ}\quad (cmt)\\\widehat{A}:\ \text{góc chung}\end{cases}$
Do đó $\triangle AIH\backsim \triangle ADQ\ (c.g.c)$
$\Rightarrow \widehat{AIH} = \widehat{ADQ}$ (hai góc tương ứng)
c) Ta có:
$\widehat{ASH} = \widehat{ASQ} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
$\widehat{AFH} = \widehat{AFC} = \widehat{BFC} = 90^\circ$ (câu a)
$\widehat{AEH} = \widehat{AEB} = 90^\circ\quad (gt)$
$\Rightarrow \widehat{ASH} = \widehat{AFH} = \widehat{AEH} = 90^\circ$
$\Rightarrow ASFHE$ nội tiếp đường tròn đường kính $AH$
$\Rightarrow ASFE$ nội tiếp
$\Rightarrow \widehat{MSF} = \widehat{AEF}$
mà $\widehat{AEF} = \widehat{FBC}$ ($BFEC$ nội tiếp)
nên $\widehat{MSF} = \widehat{FBC}$
$\Rightarrow MSFB$ nội tiếp
$\Rightarrow \widehat{BFM} = \widehat{BSM}$
Ta lại có:
$\widehat{BSM} = \widehat{ACB}$ ($ASBC$ nội tiếp)
$\widehat{ACB} = \widehat{AFE}$ ($BFEC$ nội tiếp)
$\Rightarrow \widehat{BSM} = \widehat{AFE}$
Do đó:
$\widehat{BFM} = \widehat{AFE}$
mà $A,F,B$ thẳng hàng
nên $E,F,M$ thẳng hàng
