Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Đặt vế trái của BĐT là $P$
Do $2020=xy+yz+zx$ nên ta có:
$P=\sqrt{\dfrac{yz}{x^2+xy+yz+zx}}+\sqrt{\dfrac{zx}{y^2+xy+yz+zx}}+\sqrt{\dfrac{xy}{z^2+xy+yz+zx}}$
$⇔P=\sqrt{\dfrac{yz}{(x+y)(x+z)}}+\sqrt{\dfrac{zx}{(x+y)(y+z)}}+\sqrt{\dfrac{xy}{(x+z)(y+z)}}$
$⇔P=\sqrt{\dfrac{y}{x+y}}.\sqrt{\dfrac{z}{x+z}}+\sqrt{\dfrac{x}{x+y}}.\sqrt{\dfrac{z}{y+z}}+\sqrt{\dfrac{x}{x+z}}.\sqrt{\dfrac{z}{y+z}}$
Áp dụng BĐT Cô-si: $\sqrt{a.b} \leq \dfrac{1}{2}(a+b)$ ta được:
$P \leq \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{y}{x+y}+\dfrac{z}{x+z} \right)+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{z}{y+z} \right)+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x}{x+z}+\dfrac{z}{y+z} \right)$
$⇔P \leq \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{y}{x+y}+\dfrac{x}{x+y} \right)+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{z}{x+z}+\dfrac{x}{x+z} \right)+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{z}{y+z}+\dfrac{y}{y+z} \right)$
$⇔P \leq \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=\sqrt{\dfrac{2020}{3}}$
