Đáp án:
Giải thích các bước giải:
$ u = \sqrt[]{e^{x} + 4} ⇒ du = \frac{e^{x}dx}{2\sqrt[]{e^{x} + 4}}$
$⇒ \sqrt[]{e^{x} + 4}dx = 2\frac{(e^{x} + 4)du}{e^{x}} = 2\frac{u²du}{u² - 4} = 2(1 + \frac{1}{u - 2} - \frac{1}{u + 2})du$
Đổi cận $x = 0 ⇒ u = \sqrt[]{5}; x = ln5 ⇒ u = 3$
$ ⇒ \int\limits^{ln5}_0 {\sqrt[]{e^{x} + 4} } \, dx = 2\int\limits^3_\sqrt[]{5}{(1 + \frac{1}{u - 2} - \frac{1}{u + 2})} \, du = 2(u + ln|u - 2| - ln|u + 2|) = 2u + 2ln(\frac{u - 2}{u + 2})$
$ = 2[(3 - \sqrt[]{5}) + 2ln(\frac{3 - 2}{3 + 2}) - 2ln(\frac{\sqrt[]{5} - 2}{\sqrt[]{5} + 2})$
$= 6 - 2\sqrt[]{5} - 2ln\sqrt[]{5} + ln(\frac{9 + 2\sqrt[]{5}}{9 - 2\sqrt[]{5}}) $
$\int\limits^{ln5}_0 {(x² + 3 + \sqrt[]{e^{x} + 4)} } \, dx = \int\limits^{ln5}_0 {(x² + 3)} \, dx + \int\limits^{ln5}_0 {\sqrt[]{e^{x} + 4} } \, dx $
$ = \frac{(ln5)³}{3} + 3ln5 + 2(3 - \sqrt[]{5}) - 2ln5 + ln(\frac{9 + 2\sqrt[]{5}}{9 - 2\sqrt[]{5}})$
$= \frac{(ln5)³}{3} + ln(\frac{45 + 10\sqrt[]{5}}{9 - 2\sqrt[]{5}}) + 2(3 - \sqrt[]{5})$
