1.
a) Tứ giác ABOC có :
∠ABO = ∠ACO = 90° → tứ giác AOBC nội tiếp đường tròn đường kính AO ( đpcm )
b) Xét ΔABE và ΔADB có :
∠BAD chung
∠ABE = ∠BDE ( tc tiếp tuyến và dây cung )
→ΔABE ᔕ ΔADB ( g.g )
→$\frac{AB}{AD}$ =$\frac{AE}{AB}$
→AB²= AE.AD ( đpcm )
2.
1a. Vì OI ⊥ MI ; CO ⊥ IO (gt)
→ CO // MI mà MP⊥CO →MAP⊥MI
→MP//OI→MPOI là hình thang vuông
b.Do MPOI là thang vuông →IMP=1v
hay OMP=1v→OP là đường kính của (O)
→Q , O , P thẳng hàng
3a.Xét 2 tam giác vuông : MPQ và MHP có : Vì ΔAOM cân ở O ; I là trung điểm AO ; MI⊥AO →ΔMAO là tam giác cân ở M →ΔAMO là tam giác đều →Sđ AM = 60° và sđ MC = sđ CP = 30°
→AM = MP
→MPH = MQP ( góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau ) →ΔMHP ᔕ ΔMPQ
→$\frac{MH}{MP}$ = $\frac{MP}{MQ}$ →MH.MQ = MP²
b.Gọi J là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔQHP. Do sđ AQ = sđ MP = 60°→ΔMQP cân tại H và QHP = 120°
→J nằm trên đường thẳng HO →ΔHPJ là tam giác đều mà HPM = 30°→MPH + MPJ = MPJ = 90°
hay JP⊥MP tại P nằm trên đường tròn ngoại tiếp ΔHPQ → đpcm
