Đáp án:
\[\lim \frac{{1 + 2 + {2^2} + .... + {2^n}}}{{1 + 3 + {3^2} + .... + {3^n}}} = 0\]
Giải thích các bước giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
1 + 2 + {2^2} + ..... + {2^n} = \frac{{{2^{n + 1}} - 1}}{{2 - 1}} = {2^{n + 1}} - 1\\
1 + 3 + {3^3} + ..... + {3^n} = \frac{{{3^{n + 1}} - 1}}{{3 - 1}} = \frac{{{3^{n + 1}} - 1}}{2}\\
\Rightarrow \lim \frac{{1 + 2 + {2^2} + .... + {2^n}}}{{1 + 3 + {3^2} + .... + {3^n}}}\\
= \lim \frac{{{2^{n + 1}} - 1}}{{\frac{{{3^{n + 1}} - 1}}{2}}} = \lim \frac{{{2^{n + 2}} - 2}}{{{3^{n + 1}} - 1}}\\
= \lim \frac{{2.{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{n + 1}} - \frac{2}{{{3^{n + 1}}}}}}{{1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{n + 1}}}} = \frac{{2.0 - 0}}{{1 - 0}} = 0
\end{array}\)
