`a)` Xét `Delta ABC` , `hat{ BAC}` `=` `90^o` có :
`AH^2 = HB . HC ` ( Hệ thức lượng trong tam giác vuông )
`=> HB . HC = 2^2 = 4` `(1)`
Lại có : `HB + HC = BC = 5` `(2)`
Từ `(1)` và `(2)` ta có hệ phương trình:
$\begin{cases}\ HB . HC = 4 \\\ HB + HC = 5\end{cases}$
`<=> ` $\begin{cases}\ HB = \dfrac{ 4 }{HC }\\\ HB + HC = 5\end{cases}$
`<=>` $\begin{cases}\ HB = \dfrac{4}{HC} \\\ \dfrac{4}{HC} + HC = 5\end{cases}$
`<=>` $\begin{cases}\ HB = \dfrac{4}{HC} \\\ \dfrac{ 4}{HC} + \dfrac{ HC^2}{HC} = \dfrac{5HC}{HC} \end{cases}$
`<=>` $\begin{cases}\ HB = \dfrac{4}{HC} \\\ HC^2 - 5HC + 4 = 0\end{cases}$
`<=>`$\begin{cases}\ HB = \dfrac{4}{HC}\\\ \left[ \begin{array}{l}HC = 1\\HC = 4\end{array} \right. \end{cases}$
$⇔\left[\begin{array}{l}HC=1; HB=4\\HC=4;HB=1\end{array}\right.$
`(+)` Với trường hợp 1 : `HB = 4` cm , `HC = 1` cm.
Xét `DeltaAHB` , `\hat{AHB}` `=` `90^o` có :
` AB^2 = AH^2 + BH^2` ( Pytago )
`=> AB^2 = 2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20 `
`=> AB = \sqrt20 = 2\sqrt5` ( cm )
Xét `\DeltaAHC` , `\hat{AHC}` `=` `90^o` có :
`AC^2 = AH^2 + HC^2` ( Pytago )
`=> AC^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5`
`=> AC = \sqrt5 ` ( cm )
`(+)` Với trường hợp 2 : `HB = 1` cm , `HC = 4` cm.
Xét `DeltaAHB` , `\hat{AHB}` `=` `90^o` có :
`AB^2 = AH^2 + BH^2` ( Pytago )
`=> AB^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5`
`=> AB = \sqrt5` ( cm )
Xét `DeltaAHC` , `\hat{AHC}` `=` `90^o` có :
`AC^2 = AH^2 + HC^2` ( Pytago )
`=> AC^2 = 2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20`
`=> AC = \sqrt20 = 2\sqrt5` ( cm )
Vậy :
`(+)` Với trường hợp 1 : `AB = 2\sqrt5 ` cm , `AC = \sqrt5 ` cm , `BH = 4 ` cm , `CH = 1 ` cm.
`(+)` Với trường hợp 2 : `AB = \sqrt5 ` cm , `AC = 2\sqrt5` cm , `BH = 1 ` cm , `CH = 5` cm.
