Đáp án:
Giải thích các bước giải:
b) $OI⊥CD; OE⊥CD ⇒ OI//OE$
Mà $O$ là trung điểm $AB ⇒ I$ là trung điểm $EB$
Theo câu a) có $I$ là trung điểm $CD$
$ ⇒ EDBC $ là hình hình hành
$ ⇒ CE//BD$ mà $BD⊥AD$ (vì $AB$ là đường kính)
$ ⇒ CE⊥AD$ mà $AE⊥CD ⇒ E $ là trực tâm$ΔACD$
c) $H $ là trung điểm $OB; I $ là trung điểm $EB$
$ ⇒OE//IH$ mà $AE//OI ⇒ ∠OEA = 90^{0}$
$ ⇒ E$ di động trên đường tròn đường kính $OA$ cố định
d) Qua $H$ vẽ dây $MN⊥AB ⇒ MH = NH$
$⇒ΔAMB$ vuông tại $M$ đường cao $MH$ nên
có hệ thức $: AH.BH = MH² = OM² - OH² $
$ = OM² - (\dfrac{OB}{2})² = R² - (\dfrac{R}{2})² = \dfrac{3R²}{4}$
$ ΔCHM ≈ ΔCHN (g.g) ⇔ \dfrac{CH}{MH} = \dfrac{DH}{NH}$
$ ⇔ CH.DH = MH.NH = MH.MH = MH² = \dfrac{3R²}{4}$
Áp dụng BĐT Cô si:
$CD = CH + DH ≥ 2\sqrt{CH.DH} = 2\sqrt{\dfrac{3R²}{4}} = R\sqrt{3}$
$ ⇒ CD_{min} = R\sqrt{3} ⇔ CH = DH ⇔ CD$ trùng $MN$
