Gọi $G$ là trọng tâm $∆ABC$
`=>BM`$\perp CN$ tại $G$
`=>∆BCG` vuông tại $G$
`=>BC^2=BG^2+CG^2` (Pytago)
`<=>a^2=BG^2+CG^2` $(1)$
Đặt $AB=c;AC=b$
Áp dụng công thức đường trung tuyến:
`BM^2={2(a^2+c^2)-b^2}/4`
`CN^2={2(a^2+b^2)-c^2}/4`
$G$ là trọng tâm $∆ABC$
`=>BG=2/ 3 BM`
`=>BG^2 =4/ 9 BM^2`
`\qquad CG=2/ 3 CN`
`=>CG^2=4/ 9 CN^2`
`=>BG^2+CG^2=4/ 9 (BM^2+CN^2)`
`=4/ 9 .[ {2(a^2+c^2)-b^2+2(a^2+b^2)-c^2}/4]`
`=1/ 9 (2a^2+2c^2-b^2+2a^2+2b^2-c^2)={4a^2+b^2+c^2}/9`
`(1)<=>a^2={4a^2+b^2+c^2}/9`
`<=>9a^2=4a^2+b^2+c^2`
`<=>5a^2=b^2+c^2`
Áp dụng định lý cos:
`a^2=b^2+c^2-2bc cosA`
`<=>a^2=5a^2-2bc cosα`
`=>bc={5a^2-a^2}/{2cosα}={4a^2}/{2cosα}={2a^2}/{cosα}`
`S_{∆ABC}=1/ 2 bc sinα`
`=1/ 2 . {2a^2}/{cosα} sinα=a^2.tanα`(đvdt)
Vậy diện tích $∆ABC$ là $a^2 tanα$ (đvdt)
