Điều kiện xác định của phương trình

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {4x + 3 \ge 0}\\ {3{x^2} + 10x + 6 \ge 0} \end{array}} \right. \Rightarrow x \in \left[ {\frac{{ - 3}}{4}; + \infty } \right)\)

\(\begin{array}{l} {x^3} - {x^2} - x + 1 = \sqrt {4x + 3} + \sqrt {3{x^2} + 10x + 6} \\ {x^3} - 2{x^2} - 2x + {x^2} + x + 1 = \sqrt {4x + 3} + \sqrt {3{x^2} + 10x + 6} \\ x({x^2} - 2x - 2) = \sqrt {4x + 3} - (x + 1) + \sqrt {3{x^2} + 10x + 6} - {x^2}\\ x({x^2} - 2x - 2) = \frac{{4x + 3 - {{(x + 1)}^2}}}{{\sqrt {4x + 3} + (x + 1)}} + \frac{{3{x^2} + 10x + 6 - {x^4}}}{{\sqrt {3{x^2} + 10x + 6} + {x^2}}}\\ x({x^2} - 2x - 2) = \frac{{ - {x^2} + 2x + 2}}{{\sqrt {4x + 3} + (x + 1)}} + \frac{{3{x^2} + 10x + 6 - {x^4}}}{{\sqrt {3{x^2} + 10x + 6} + {x^2}}}\\ \end{array}\)

tới đây thì mình thấy có lượng \({x^2} - 2x - 2\) là nhân tử chung ở 2 hạng tử đầu cho nên mình thực hiện phép chia đa thức \({3{x^2} + 10x + 6 - {x^4}}\)cho \({x^2} - 2x - 2\)và may mắn là phép chia này là phép chia hết nên mình được:

\(\begin{array}{l} x({x^2} - 2x - 2) = \frac{{ - {x^2} + 2x + 2}}{{\sqrt {4x + 3} + (x + 1)}} + \frac{{\left( {{x^2} + 2x + 3} \right)\left( { - {x^2} + 2x + 2} \right)}}{{\sqrt {3{x^2} + 10x + 6} + {x^2}}}\\ x({x^2} - 2x - 2) + \frac{{{x^2} - x - 2}}{{\sqrt {4x + 3} + (x + 1)}} + \frac{{\left( {{x^2} + 2x + 3} \right)\left( {{x^2} - x - 2} \right)}}{{\sqrt {3{x^2} + 10x + 6} + {x^2}}} = 0\\ ({x^2} - 2x - 2)\left( {x + \frac{1}{{\sqrt {4x + 3} + (x + 1)}} + \frac{{\left( {{x^2} + 2x + 3} \right)}}{{\sqrt {3{x^2} + 10x + 6} + {x^2}}}} \right) = 0\\ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} - 2x - 2 = 0 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1 + \sqrt 3 }\\ {x = 1 - \sqrt 3 } \end{array}} \right.}\\ {x + \frac{1}{{\sqrt {4x + 3} + (x + 1)}} + \frac{{\left( {{x^2} + 2x + 3} \right)}}{{\sqrt {3{x^2} + 10x + 6} + {x^2}}} = 0} \end{array}} \right. \end{array}\)

Xét \({x + \frac{1}{{\sqrt {4x + 3} + (x + 1)}} + \frac{{\left( {{x^2} + 2x + 3} \right)}}{{\sqrt {3{x^2} + 10x + 6} + {x^2}}} }\) ta có: