Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ cho 2 số dương ta được:
$\begin{array}{l}
\dfrac{{ab}}{c} + \dfrac{{bc}}{a} \ge 2\sqrt {\dfrac{{ab.bc}}{{ac}}} = 2b\\
\dfrac{{bc}}{a} + \dfrac{{ca}}{b} \ge 2\sqrt {\dfrac{{bc.ca}}{{ab}}} = 2c\\
\dfrac{{ca}}{b} + \dfrac{{ab}}{c} \ge 2\sqrt {\dfrac{{ca.ab}}{{bc}}} = 2a\\
\Rightarrow 2\left( {\dfrac{{ab}}{c} + \dfrac{{ca}}{b} + \dfrac{{bc}}{a}} \right) \ge 2\left( {a + b + c} \right)\\
\Rightarrow \dfrac{{ab}}{c} + \dfrac{{ca}}{b} + \dfrac{{bc}}{a} \ge a + b + c = 3\\
' = ' \Leftrightarrow a = b = c = 1
\end{array}$