Giải thích các bước giải:
a,
Áp dụng Bất đẳng thức AM - GM ta có:
\(\begin{array}{l}
{a^2} + {b^2} \ge 2\sqrt {{a^2}.{b^2}} = 2ab\\
{a^2} + 1 \ge 2\sqrt {{a^2}.1} = 2a\\
{b^2} + 1 \ge 2\sqrt {{b^2} + 1} = 2b\\
\Rightarrow \left( {{a^2} + {b^2}} \right) + \left( {{a^2} + 1} \right) + \left( {{b^2} + 1} \right) \ge 2ab + 2a + 2b\\
\Leftrightarrow 2\left( {{a^2} + {b^2} + 1} \right) \ge 2\left( {ab + a + b} \right)\\
\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + 1 \ge ab + a + b
\end{array}\)
Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = 1\)
b,
Áp dụng BĐT AM - GM ta có:
\(\begin{array}{l}
1 + {b^2} \ge 2\sqrt {1.{b^2}} = 2b\\
1 + {c^2} \ge 2\sqrt {1.{c^2}} = 2c\\
1 + {a^2} \ge 2.\sqrt {1.{a^2}} = 2a\\
\Rightarrow {a^2}\left( {1 + {b^2}} \right) + {b^2}\left( {1 + {c^2}} \right) + {c^2}\left( {1 + {a^2}} \right)\\
\ge {a^2}.2b + {b^2}.2c + {c^2}.2a\\
= 2.\left( {{a^2}b + {b^2}c + {c^2}a} \right)\\
\ge 2.3.\sqrt[3]{{{a^2}b.{b^2}c.{c^2}a}} = 6abc
\end{array}\)
Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c = 1\)
