Giải thích các bước giải:
a.Xét $\Delta AHB, \Delta ABC$ có:
Chung $\hat B$
$\widehat{AHB}=\widehat{BAC}(=90^o)$
$\to \Delta HBA\sim \Delta ABC(g.g)$
$\to \dfrac{HB}{AB}=\dfrac{HA}{AC}$
$\to HB.AC=AB.HA$
b.Ta có $AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=4$
Mà $BI$ là phân giác $\hat B$
$\to \dfrac{IA}{IH}=\dfrac{BA}{BH}=\dfrac43$
$\to \dfrac{AI}{AI+IH}=\dfrac4{4+3}$
$\to \dfrac{AI}{AH}=\dfrac47$
$\to AI=\dfrac47AH=\dfrac{16}{7}\to HB=AH-AI=\dfrac{12}{7}$
c.Ta có $AK$ là phân giác $\widehat{HAC}$
$\to \widehat{HAK}=\widehat{KAC}$
Mà $\widehat{BAH}=90^o-\widehat{HAC}=\widehat{ACH}=\widehat{ACK}$
$\to \widehat{BAK}=\widehat{BAH}+\widehat{HAK}=\widehat{KCA}+\widehat{KAC}=\widehat{AKB}$
$\to \Delta ABK$ cân tại $B$
Mà $BI$ là phân giác $\hat B$
$\to BI\perp AK$
Lại có $AH\perp BC, I\in AH$
$\to I$ là trực tâm $\Delta ABK\to KI\perp AB$
d.Gọi $IK\cap HN=D$
$\to \dfrac{DI}{AN}=\dfrac{HD}{HN}=\dfrac{DK}{CN}$
$\to DI=DK$ vì $N$ là trung điểm $AC$
$\to D$ là trung điểm $KI$
Mặt khác:
$\dfrac{DI}{CN}=\dfrac{2DI}{2CN}=\dfrac{IK}{AC}=\dfrac{MI}{MC}$
$\widehat{MID}=\widehat{MCN}$
$\to \Delta MDI\sim\Delta MNC(c.g.c)$
$\to \widehat{IMD}=\widehat{NMC}$
$\to D, M, N$ thẳng hàng
Mà $H, D, N$ thẳng hàng
$\to H, M, N$ thẳng hàng
