Đáp án:
1) \(\dfrac{{8a\sqrt {141} }}{{47}}\)
Giải thích các bước giải:
1)
Gọi H là tâm tam giác \(ABC\) thì \(SH \bot \left( {ABC} \right)\), M là trung điểm SA.
Mặt phẳng trung trực của SA cắt SH tại O.
Khi đó O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
Tam giác ABC đều cạnh a nên \(AD = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AH = \dfrac{2}{3}AD = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
\(\Delta SAH\) vuông tại H nên \(SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}} = \sqrt {16{a^2} - {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt {141} }}{3}\)
Tam giác \(SMO\) đồng dạng tam giác \(SHA\) theo trường hợp g-g nên \(\dfrac{{SM}}{{SH}} = \dfrac{{SO}}{{SA}} \Rightarrow R = SO = \dfrac{{SM.SA}}{{SH}} = \dfrac{{2a.4a}}{{\dfrac{{a\sqrt {141} }}{3}}} = \dfrac{{8a\sqrt {141} }}{{47}}\)