1. Ta có: $OM\perp AB$ (giả thiết)
$\Rightarrow\widehat{AMO}=90^o$ nên $M$ thuộc đường tròn đường kính (AO) (1),
$ON\perp AC$ (giả thiết)
nên $\widehat{ANO}=90^o$ nên $N$ thuộc đường tròn đường kính (AO) (2),
$AH\perp OH$ (giả thiết) nên $\widehat{AHO}=90^o$ nên $H$ thuộc đường tròn đường kính $(AO)$ (3)
Từ (1), (2) và (3) điều suy ra
$A,M,H,O,N$ cùng thuộc đường tròn đường kính (AO)
2. Xét 2 tam giác vuông $\Delta AOM$ và $\Delta AON$ có:
$\widehat{MAO}=\widehat{NAO}$ (giả thiết cho AO là phân giác $\widehat{BAC}$)
AO chung
$\Rightarrow\Delta AOM=\Delta AON$ (cạnh huyền-góc nhọn)
$\Rightarrow AM=AN$ (hai cạnh tương ứng) nên sđ cung AM= sđ cung AN
$\Rightarrow\widehat{MHA}=\widehat{NHA}$ (góc nội tiếp cùng chắn 2 cung bằng nhau sđ cung AM=sđ cung AN (cmt))
$\to HA$ là phân giác $\widehat{MHN}$
3. Xét $\Delta KNO$ và $\Delta OAC$ ta có: $\widehat{KON}=\widehat{OCA}$ $(\text{do }+\widehat{NOC}=90^o)$
$\widehat{KNO}=\widehat{OAC}$ (góc nội tiếp chắn hai cung có sđ bằng nhau sđ cung MO=sđ cung NO)
$\to \Delta KNO\sim\Delta OAC(g.g)$
$\to\dfrac{KN}{OA}=\dfrac{NO}{AC}\to KN.AC=OA.ON$ (*)
Tương tự $\Delta KMO\sim\Delta OAB$ (g.g)
$\to\dfrac{KM}{OA}=\dfrac{MO}{AB}\to KM.AB=OA.OM$ (**)
Từ (*) mà (**) và $OM=ON\to KN.AC= KM.AB$
4. Dựng $RS//BC$ $(R\in AB, S\in AC)$
mà $BC\bot OK\Rightarrow RS\bot OK$ tại K nên $\widehat{OKR}=\widehat{OKS}=90^o$
Tứ giác $OKRM$ có:
$\widehat{OKR}+\widehat{OMR}=180^o$
$\Rightarrow$ tứ giác $OKRM$ nội tiếp đường tròn đường kính $(OM)$
$\Rightarrow\widehat{KRO}=\widehat{KMO}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung KO) (4)
Ta có: $\widehat{OKS}=\widehat{ONS}=90^o$
$\Rightarrow K, N$ cùng nhìn cạnh OS dưới một góc $90^o$
Nên $OKNS$ nội tiếp đường tròn đường kính $(OS)$
$\Rightarrow\widehat{KNO}=\widehat{KSO}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung KO) (5)
Mà $\widehat{KMO}=\widehat{KNO}$ (do $\Delta OMN$ có OM=ON nên cân đỉnh O) (6)
Từ (4), (5) và (6) suy ra $\widehat{KRO}=\widehat{KSO}$
$\Rightarrow \Delta ORS$ cân đỉnh O nên đường cao OK cũng là đường trung tuyến
nên K là trung điểm cạnh RS nên KR=KS
Gọi $AK\cap BC=E$
Do $RK//EB$ nên $\dfrac{KR}{EB}=\dfrac{AK}{AE}$ (định lý Ta-lét)
$KS//EC\Rightarrow\dfrac{KS}{EC}=\dfrac{AK}{AE}$ (định lý Ta-lét)
$\Rightarrow\dfrac{KR}{EB}=\dfrac{KS}{EC}$ mà $KR=KS$ (cmt)
$\Rightarrow EB=EC\Rightarrow E$ là trung điểm cạnh BC
suy ra I trùng E, suy ra A, K, I thẳng hàng.
