Ví dụ 3:
$\begin{array}{l} A = \sqrt {7 + 3\sqrt 5 } + \sqrt {7 - 3\sqrt 5 } \\ \Rightarrow A\sqrt 2 = \sqrt {14 + 6\sqrt 5 } + \sqrt {14 - 6\sqrt 5 } \\ \Rightarrow A\sqrt 2 = \sqrt {\left( {5 + 9 + 2.3\sqrt 5 } \right)} + \sqrt {\left( {5 + 9 - 2.3\sqrt 5 } \right)} \\ \Rightarrow A\sqrt 2 = \sqrt {{{\left( {3 + \sqrt 5 } \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {3 - \sqrt 5 } \right)}^2}} = 3 + \sqrt 5 + 3 - \sqrt 5 = 6\\ \Rightarrow A = \dfrac{6}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{6\sqrt 2 }}{2} \end{array}$
Ví dụ 1: (bị lỗi ) đây là cách chứng minh:
$\begin{array}{l} \sqrt {3 - \sqrt {\sqrt 2 + \sqrt {12} + \sqrt {18 - \sqrt {128} } } } \\ = \sqrt {\sqrt 3 - \sqrt {\sqrt 2 + \sqrt {12} + \sqrt {18 - 8\sqrt 2 } } } \\ = \sqrt {\sqrt 3 - \sqrt {\sqrt 2 + 2\sqrt 3 + \sqrt {{{\left( {4 - \sqrt 2 } \right)}^2}} } } \\ = \sqrt {\sqrt 3 - \sqrt {\sqrt 2 + 2\sqrt 3 + 4 - \sqrt 2 } } \\ = \sqrt {\sqrt 3 - \sqrt {4 + 2\sqrt 3 } } \\ = \sqrt {\sqrt 3 - \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}^2}} } \\ = \sqrt {\sqrt 3 - \sqrt 3 - 1} = \sqrt { - 1} (VL) \end{array}$
