Lời giải:
*) Gọi P là giao điểm của OH với (OMN)
Ta có: $\overline {HM} .\overline {HN} = \overline {HO} .\overline {HP} = - {k^2}$
Mà O, H cố định, K không đổi nên P cố định.
Vậy (OMN) luôn đi qua 2 điểm cố định là O, P.
*) Gọi IH là đường kính của (O); E, F là giao điểm của IA, IB với d
Dễ thấy M, N lần lượt là trung điểm của EH, FH
Ta có: $\overline {HE} .\overline {HF} = 2\overline {HM} .2\overline {HN} = - 4{k^2}$
Dựng đường tròn (IEF) cắt IH tại điểm thứ hai là điểm J
${\wp _{H/({\rm{IEF)}}}} = \overline {HI} .\overline {HJ} = \overline {HE} .\overline {HF} = - 4{k^2}$
⇒ J cố định
Trong các tam giác vuông IHE và IHF có:
IA.IE = IB.IF = IH²
⇒ ABEF nội tiếp
⇒ $\widehat {IAB} = \widehat {EFB}$ (cùng bù với góc EAB)
Mà $\widehat {EFB} = \widehat {EJI} \Rightarrow \widehat {IAB} = \widehat {EIJ}$
Gọi K là giao của AB và IJ ta có: AKJE nội tiếp
${\wp _{I/(AKJE)}} = \overline {IA} .\overline {IE} = \overline {IK} .\overline {IJ} = I{H^2}$
⇒ K cố định
Vậy AB luôn đi qua K cố định
